APUNTES DE ÁLGEBRA
curso 2010-2011

Primera parte: Teoría de grupos

 

Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones.

 

Normalidad. Cocientes. Homomorfismos. Teoremas de isomorfía.

 

El grupos de las permutaciones. El grupo alternado.

 

Grupos resolubles. Aplicaciones. Caracteres de grupos. Teorema de Cauchy.

Segunda parte: Teoría de Galois

 

Teoría de anillos. Homomorfismos. Ideales. Anillo cociente. Teoremas de isomorfía. Dominios, cuerpos y cuerpo de fracciones. Característica de un cuerpo.

 

Anillos de polinomios. Raíces de polinomios. División y factorización. Lema de Gauss.

 

Teorema Fundamental del Álgebra. Ecuaciones de tercer y cuarto grado.

 

Extensiones de cuerpos. Grado. Elementos algebraicos. Cuerpo de descomposición. Polinomios separables. Teorema del elemento primitivo.

 

Homomorfismos de cuerpos. Extensiones normales. Teorema fundamental de la teoría de Galois.

 

Cálculo de grupos de Galois. Polinomios de grado 3 y 4. Polinomios ciclotómicos.

 

Cuerpos finitos: existencia y unicidad. Grupo de automorfismos.

 

Aplicaciones. Construcciones con regla y compás. Cálculo de raíces por radicales.