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Resumen: Les propiétes de la fonction zêta d'une variété algébrique sur un corps fini sont maintenat bien connues. Leur démonstrations sont de nature l-adiques.

Nous expliquerons dans cet exposé que ces mêmes propiétés se réduisent à l'étude d'équations différentielles p-adiques.

Resumen: Resultados recientes (1999-2000) estudian las sicigias de variedades tóricas, en particular las ecuaciones que definen una variedad tórica. En el caso en que la variedad sea proyectiva, se tiene una situación especial, ya que en este caso el semigrupo que la define tiene sus generadores en un hiperplano. La intención de esta charla es exponer los métodos que utilizamos para dar una estimación de los grados de las ecuaciones que definen una variedad tórica proyectiva.

Resumen: El problema del logaritmo discreto puede enunciarse de manera bastante simple: dado un grupo finito (multiplicativo) G y dos elementos x,y Î G tales que y = xⁿ, hallar n.

Un enunciado tan sencillo esconde, sin embargo, notables dificultades computacionales que han dado lugar a la utilización de este tipo de problemas en criptografía de clave pública.

En esta charla revisaremos algunos de los sistemas de encriptación basados en el problema del logaritmo discreto: fundamentalmente el sistema de ElGamal (método pionero en la aplicación de estos problemas), la Firma Digital Estandarizada (que es la utilizada por el gobierno de Estados Unidos para encriptaciones oficiales) y, finalmente, el sistema de encriptación mediante curvas elípticas, el más moderno y seguro de los métodos actuales.

Resumen: Sea R un anillo en el que podamos resolver ecuaciones lineales, como un cuerpo, Z o Z[Ö[(-5)]]. Tenemos entonces el algoritmo de bases de Gröbner en el anillo de polinomios R[x₁,¼,x_n]. Uno de los problemas fundamentales en K-teoría es el estudio de los módulos proyectivos, y existen resultados que conectan los módulos proyectivos finitamente generados sobre R[x₁,¼,x_n] con los que tenemos en R. Nos centramos en los aspectos algorítmicos de estos resultados, que precisan de construcciones explícitas en R[x₁,¼,x_n].

Resumen: Let f₁,¼,f_p be polynomials in n variables with coefficients in a field K. We associate with these polynomials a number of functional equations and of related ideals B, B_j and B_S of K[s₁,¼,s_p] called Bernstein-Sato ideals. Using standard basis techniques, our purpose is to give an algorithm for computing generators of B_j and B_S.

Colabora: Vicerrectorado de Relaciones Institucionales y Extensión Cultural (Ciclo de conferencias ``Geometría y Álgebra'')

Resumen: Si R es un álgebra sobre el cuerpo C, una representación n-dimensional de R es un homomorfismo de álgebras r:R®M_n(C). Cuando r es una aplicación sobreyectiva, entonces Ker(r) es un ideal maximal de R. Vamos a llamar Max_n(R) al conjunto de todos los ideales maximales asociados a representaciones n-dimensionales de R.

Es claro que existe una descomposición del espectro maximal de R como una unión disjunta

Nuestro objetivo en este trabajo es obtener información de R al estudiar la parte finita del espectro maximal, esto es, las representaciones finito-dimensionales. Atendiendo a las técnicas empleadas, hemos dividido nuestro trabajo en tres partes:

1. probamos que, bajo ciertas condiciones, existe una dualidad entre módulos localmente finitos a derecha y módulos localmente finitos a izquierda;

 
2. representamos la dualidad de Bernstein, tal y como aparece en ``Rings of differential operators" de J.-E. Bjork, y

 
3. mostramos nuevos ejemplos de la teoría.

Colabora: Vicerrectorado de Relaciones Institucionales y Extensión Cultural (Ciclo de conferencias ``Geometría y Álgebra'')

Resumen:El objetivo de este trabajo es el estudio de la equisingularidad de una familia de curvas algebroides planas parametrizada por una variedad lisa en característica positiva desde un punto de vista intrínseco, es decir, a la manera de Zariski en el caso en que el cuerpo de definición es de característica cero.

Colabora: Vicerrectorado de Relaciones Institucionales y Extensión Cultural (Ciclo de conferencias ``Geometría y Álgebra'')

Resumen: Dans deux articles de 1936, S. MacLane introduit la notion de polynôme-clé pour une valuation m sur l'anneau des polynomes K[x]. Ces polynomes apparaissent dans l'étude de l'extension de n, une valuation discrete de rang un sur un corps K, à une extension monogene L = K(x), algébrique ou transcendante pure. La notion de polynôme-clé est très proche de la notion de racine approcée qui apparait dans l'étude des singularités des courbes planes. Je rappelerai les résultats de MacLane, et je montrerai comment il est possible de les étendre partiellement aux cas d'une valuation n quelconque, c'est à dire sans supposer n discrete de rang un.

Colabora: Vicerrectorado de Relaciones Institucionales y Extensión Cultural (Ciclo de conferencias ``Geometría y Álgebra'')

Resumen: Sea v una valoración discreta de rango 1 sobre k((X₁,¼,X_n)). Dedicaremos esta sesión del seminario a dar una construcción explícita de unas ecuaciones paramétricas de la valoración. Es decir, encontraremos un elemento de valor 1 (el parámetro) y construiremos el cuerpo residual de v (cuerpo de coeficientes). El procedimiento aquí descrito no es efectivo, desde el punto de vista computacional, pues estamos trabajando con series y además necesitamos tener cierta información acerca del cuerpo residual que habría que determinar con exactitud.

Sin embargo, una consecuencia importante de estas construcciones es el siguiente resultado, que generaliza los trabajos realizados por los profesores E. Briales y F.J. Herrera: Podemos extender k((X₁,¼,X_n)) a un nuevo cuerpo L((Y₁,¼,Y_n)) donde la valoración ``extendida'' es lo más parecida posible a una función de orden.

Lugar: Salón de Actos de la Facultad de Matemáticas.
Fecha: Viernes día  20 de octubre de 2000
Hora: 11:00

17/00
Lunes, 9 de octubre, a las 16 horas
Sala de Juntas
 
 

Resumen: Determinamos la sicigias de un ideal de retículo mediante ciertos complejos simpliciales. Los vértices de estos complejos, que están sobre los rayos extremales del cono asociado, permiten construir el conjunto de Apéry. Caracterizamos cuándo el ideal es homogéneo, y en este caso se calcula y se acota la regularidad.

Resumen: El objetivo de esta charla es explicar las líneas de la demostración del siguiente resultado:
Sea A el anillo de series formales en n variables sobre un cuerpo k perfecto de característica p > 0 y k(t)_per el cierre perfecto de k(t). Entonces el anillo

Resumen: Sean e₁,..., e_n los elementos de la base canónica de Zⁿ, y para todo i = 1,...,r consideremos los vectores enteros a_i = (a_i,1,..., a_i,n) with a_i,j ³ 0 . Finalmente sea T = {d₁e₁,..., d_ne_n, a₁,..., a_r} ÌNⁿ y S el Semigrupo generado por T . Consideramos el anillo sobre el semigrupo S que se llama semigrupo simplicial y llamaremos por I el ideal de presentación de este anillo como cociente del anillo de polinomios K[x₁,¼,x_n,y₁,¼,y_r] .

Un problema muy importante en Geometría Algebraica consiste en estudiar la generación del ideal I : Desde el punto de vista idealista, es decir encontrar y si posible construir polinomios que generan el ideal I ; y desde el punto de vista conjuntista, es decir encontrar y si posible construir polinomios que generan el ideal rad(I)

De los dos problemas no se sabe cuál es el más difícil y mucha gente se ha empleado a responder a estas preguntas.
Para el primer problema tendría que citar a mucha gente entre ellos a Bresinky, Sturmfels y Campillo-Pisón-Marijuán por el método español para calcular sizygias de I.

Para el segundo problema hubo una efervescencia muy grande en los años 60, 70 . Citaré a Hartshorme, Moh.
El objetivo de esta charla es presentar los progresos que hemos realizado en estos dos problemas con Margherita Barila y Apostolos Thoma.

Cabe destacar los resultados siguientes:
1.-En un cuerpo de característica p > 0 toda variedad simplicial tórica afín o projectiva con parametrización llena es una intersección completa conjuntista. Lo que extiende resultados previos de R. Hartshorne y T.T. Moh .
2.- En un cuerpo de característica zero, toda variedad simplicial tórica afín o projectiva con parametrización llena es una casi-intersección completa conjuntista. Lo que extiende resultados previos de M. Barile-M. Morales and A. Thoma.
3.- En un cuerpo de característica cualquiera, toda variedad simplicial tórica afín o projectiva que es una intersección completa conjuntista definida por binomios es en realidad una intersección completa idealista, en particular se demuestra un resultado de Rosales y García-Sánchez sobre las intersecciones completas.

Resumen: La idea de la charla es hacer un breve repaso sobre las dificultades de extender la teoría de equisingularidad a característica positiva, con especial interés en analizar la clasificación de singularidades en codimensión 1. Para esto se extenderán los conceptos de Zariski de forma natural a una situación muy general, es decir, considerando como anillo del espacio ambiente un anillo local regular noetheriano. Por otra parte, se generalizarán algunos invariantes bien conocidos que clasifican las singularidades y como aplicación se obtendrá un criterio de irreducibilidad para curvas algebroides, mucho más simple que otro de Abhyankar. Finalmente se verá cómo la teoría anterior clasifica valoraciones dominando un anillo local regular noetheriano de dimensión 2.

Resumen: Let f Î C[x,y] be a rationnal curve with one place at infinity. If f is a smooth curve, then Abhyankar-Moh Lemma says that there is an automorphism of C² which transform f into a coordinate of C². Here we give a short proof of this Lemma by using the generalized Newton polygons of Abhyankar.

Resumen: Let f,g be two polynomials of C[x,y], and let F = f(x^-1,y) (resp. G = g(x^-1,y)). F,G are polynomials in y with coefficients in C((x)). We call F,G the meromorphic curves associated with f,g. In this talk we show how to use F,G in order to have information about the polynomial map defined by f,g, then we give some applications to the plane Jacobian conjecture.

Resumen: En esta charla trataremos de explicar, de la forma más sencilla posible, qué son los invariantes de Vassiliev, por qué son interesantes y qué se sabe sobre ellos. Expondremos también algunas de las conjeturas más importantes en este área, siendo la principal: ``Los invariantes de Vassiliev clasifican los nudos''.

Aunque la exposición estará centrada en la teoría de nudos, veremos que la noción de invariante de Vassiliev puede aplicarse a objetos similares, como los enlaces, las trenzas de Artin o las trenzas de superficies, donde algunas de las conjeturas anteriores han sido demostradas.

Resumen: En esta sesión vamos a continuar la charla que tuvo lugar el 3/02/00 en la que Francisco J. Castro, partiendo del trabajo

presentó un tipo especial de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales estudiados por M. Janet (sistemas completamente integrables), así como las herramientas necesarias para tal estudio.

Resumen: En 1955, J.P. Serre preguntaba si todo módulo proyectivo finitamente generado sobre k[x₁,¼,x_m], k un cuerpo, era libre. Este resultado fue establecido de manera independiente por D. Quillen y A. Suslin en 1976, con anillo base R[x₁,¼,x_m], R dominio de ideales principales. Desde entonces es conocido como teorema de Quillen-Suslin.

En 1978, D. Anderson conjeturaba si el teorema de Quillen-Suslin se verificaba para anillos monoidales de la forma k[M], con M un monoide finitamente generado conmutativo, simplificable, sin unidades no triviales, libre de torsión y normal. Los anillos de polinomios constituyen una clase particular, por lo que esta afirmación generaliza la conjetura de Serre. Esta cuestión fue probada por I. Gubeladze en 1988 para anillos R[M], con R un dominio de ideales principales y M un monoide tórico, en donde la condición de normalidad se sustituye por la de seminormalidad.

Existen diferentes pruebas algorítmicas del teorema de Quillen-Suslin, con coeficientes en k[x₁,¼,x_m] (Fitchas 1988, Fitchas-Galligo 1989, Logar-Sturmfels 1992, Park-Woodburn 1995). En todas ellas juega un importante papel la teoría de bases de Gröbner. Igualmente, en 1997, R. Laubenbacher y C. Woodburn dieron un algoritmo del teorema de Quillen-Suslin sobre anillos k[M], con k un cuerpo.

Nuestro objetivo consiste en aprovechar la existencia de bases de Gröbner sobre anillos de la forma R[x₁,¼,x_m], con R un dominio de ideales principales y ciertas condiciones de cómputo, para dar demostraciones algorítmicas del teorema de Quillen-Suslin sobre R[x₁,...,x_m] y R[M], con M un monoide en las condiciones del teorema de Gubeladze.

Versión postcript del resumen

Resumen: En esta charla se pretende dar varias ideas para abordar problemas de cálculo de invariantes en Topología Algebraica y Algebra Homológica. A nivel geométrico tomamos como datos de entrada conjuntos simpliciales y a nivel algebraico, equivalencias de homotopía explícitas. Haciendo uso de un potente teorema de punto fijo algebraico, indicaremos a qué se reduce el problema de la complejidad en la mayoría de los algoritmos que aparecen en estas áreas (sucesiones espectrales, A_¥-estructuras, etc,), así como también plantearemos a grandes trazos varios procesos de cálculo de homología (de grupos,de fibrados, de álgebras,etc), grupos de homotopía y operaciones cohomológicas usando nuestra metodología.
 
 

5/00
Jueves, 24 de febrero, a las 16 horas
Aula 0.4

Resumen: Una vez abordado en la sesión anterior el estudio de los haces perversos sobre un espacio topológico desde el
punto de vista (categórico) de las t-estructuras; pasaremos a mancharnos las manos con ellos, describiendo los haces
constructibles de k-espacios vectoriales sobre algunos espacios topológicos, empezando por espacios contráctiles y
terminando por el caso en que el espacio sea un cono, en el que juega un papel decisivo la acción del grupo fundamental de la
base.

Resumen: Las soluciones enteras positivas, N -soluciones, de sistemas lineales diofánticos aparecen de manera natural al
trabajar en matemáticas. El conocimiento de las estructuras de estos conjuntos se remonta a finales del siglo XIX, pero la
aparición de métodos "razonables" de cálculo de N -soluciones data de los últimos diez años. No podemos olvidar que resolver
sobre los naturales un sistema diofántico es un problema NP-completo, por tanto, los métodos son "razonables" en el caso de
pocas variables.

Veremos los métodos computacionales más destacados en el cálculo de N -soluciones de un sistema diofántico, tratando
también el caso en congruencias.

Resumen: Una vez introducidos en el proceloso mundo de las categorías derivadas tras la sesión anterior a cargo de Luis
Narváez, se expondrán los ingredientes fundamentales para definir los haces perversos sobre un espacio topológico; a saber,
categorías trianguladas, t-estructuras y pegamiento de las mismas y función de perversidad.

Seguidamente estudiaremos un funtor que permite expresar unos haces perversos en función de otros "menos" perversos, y
glosaremos sus bondades (las del funtor, no las de los haces)
 
 

Resumen: En la charla se expondrán algunos resultados de un trabajo en colaboración con María Angeles Moreno.

En 1920, M. Janet publicó un artículo sobre los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales. Parte del artículo lo dedica a
"cálculos efectivos" sobre tales ecuaciones. Cuando las ecuaciones son con coeficientes constantes estos cálculos son análogos al
algoritmo de Buchberger sobre los anillos de polinomios.
 
 

Resumen: El uso del Álgebra Homológica se expande sin cesar desde la primera mitad del siglo XX, primero por la Topología y
más tarde por el Álgebra, la Geometría Algebraica y la Teoría de Singularidades. El libro de Cartan-Eilenberg y el artículo de
Grothendieck en Tohuku Math. J. la consolidan como disciplina independiente y la llevan al cénit de su época ``clásica". A partir
de los años (19)60, el propio Grothendieck y su escuela promueven una gran refundación basada en las nociones de categoría
triangulada y categoría derivada. Hasta principios de los (19)80, este movimiento es observado como paradigma de sofisticación,
propiciando un relativo aislamiento. A partir de entonces, la prueba del problema de Riemann-Hilbert y el descubrimiento de los
haces perversos y de la (co)homología de intersección vinieron a sumarse a la prueba de las conjeturas de Weil, y el Álgebra
Homológica ``moderna" alcanza madurez y reconocimiento. En la década de los (19)90 se produce un hecho novedoso: el
Álgebra Homológica, y más generalmente, la Teoría de Categorías, se hacen populares en la Física Matemática a través de los
grupos cuánticos, la Teoría de (super)cuerdas, los invariantes de Gromov-Seiberg-Witten, las supervariedades y la supersimetría,
la simetría espejo, etc. Podemos decir que las categorías trianguladas y las categorías derivadas se tornan en nociones
``clásicas".

En la charla daremos un repaso a estas nociones y presentaremos algunas de sus motivaciones. Al final hablaremos de las
t-estructuras y de los haces perversos como introducción a una próxima sesión a cargo de Félix Gudiel.