El objetivo general de esta asignatura es mostrar al estudiante un ejemplo a la vez clásico y actual donde confluyen las más variadas herramientas y conceptos: el Álgebra (extensiones de cuerpos y Teoría de Galois), el Análisis Complejo (funciones de una variable compleja), el Análisis Funcional, la Geometría Algebraica (curvas proyectivas), la Geometría Diferencial (campos y formas diferenciales, complejo de De Rham), la Teoría de Números (dominios de Dedekind, ramificación) y la Topología (grupo fundamental, espacios recubridores, superficies topológicas).
Desde un punto de vista estrictamente matemático, el objetivo concreto de la asignatura es demostrar que la teoría de las superficies de Riemann compactas y conexas es equivalente a la de las extensiones de \mathbb C finitamente generadas de grado de trascendencia 1.
Esta asignatura pretende que, a partir de un buen conocimiento en alguna de las materias anteriores, el alumno pueda encontrar motivación e interés para el resto.
Esta asignatura está especialmente recomendada para:
-)
Todos los estudiantes
deseosos de adquirir una buena formación global en Matemáticas.
-) Todos los estudiantes que ya se hayan decantado por alguna de
las ``especialidades" de Álgebra y Geometría Algebraica,
Análisis, Ecuaciones Diferenciales, Geometría Diferencial
o Topología.
Tema 1.- Superficies de Riemann. Estudio local de morfismos: índice de ramificación. Ejemplos.
Tema 2.- Curvas elípticas. La función à de Weierstrass.
Tema 3.- Estudio global de morfismos. Revestimientos étales. Revestimientos ramificados. Grado.
Tema 4.- Funciones meromorfas. Divisores. Formas diferenciales. Haces de O-módulos.
Tema 5.- Prolongación de revestimientos. Teoría de Galois de los revestimientos.
Tema 6.- Categorías y funtores. Ejemplos en Álgebra, Geometría y Topología.
Tema 7.- Superfices de Riemann compactas y cuerpos de funciones algebraicas de una variable compleja. Teorema de separación de Riemann. Equivalencia de categorías.
Tema 8.- Triangulación de superficies de Riemann compactas. Género topológico. Fórmula de Hurwitz.
Tema 9.- Teoría de Dedekind-Weber. Dominios de Dedekind. Superficies de Riemann abstractas. Introducción a la Geometría Algebraica Aritmética.
Se trata de una asignatura de último año en donde confluyen muy diversos métodos y conocimientos adquiridos a lo largo de la Licenciatura, desde el Álgebra (anillos, extensiones de cuerpos, Teoría de Galois) hasta el Análisis (funciones de una variable compleja, Análisis funcional), pasando por la Geometría Diferencial (formas diferenciales) y la Topología Algebraica (grupo fundamental, espacios recubridores), sin olvidar la unificación que supone los dominios de Dedekind con respecto a la Teoría de Números. Por esta razón, la asignatura de Superficies de Riemann puede tener un valor especial a la hora de que los futuros licenciados tengan una visión global de las Matemáticas. Aunque la asignatura no establece como requisito haber cursado alguna otra optativa, sí es recomendable haber estudiado al menos los primeros temas de Variable Compleja y Análisis de Fourier, así como los primeros temas de Estructuras Algebraicas.
Son asignaturas afines ``Variedades Diferenciables", ``Elementos de homología clásica", ``Álgebra Conmutativa", ``Geometría Algebraica", ``Curvas Algebraicas", ``Teoría Analítica de Números", y en menor grado ``Ecuaciones en derivadas parciales y Análisis Funcional", ``(Co)Homología singular", ``Geometría Riemanniana", ``Grupos de Lie".
Martes, de 11:30 a 13:30, y de 17:30 a 19:30. Viernes, de 11:30 a 13:30.
Fdo.: Manuel Jesús Gago Vargas
Fecha: 13 de Junio de 2006