• PROFESOR. Manuel Jesús Gago Vargas (gago@us.es), Titular de Escuela Universitaria. Departamento de Álgebra, despacho núm. 2, puente 11, Facultad de Matemáticas.
• CRÉDITOS. 7.5 créditos.
• OBJETIVOS y DESTREZAS.

  • Resolución de sistemas de ecuaciones por métodos directos.
  • Diagonalización de matrices simétricas. Aplicaciones de la forma canónica de Jordan.
  • Concepto de estabilidad numérica.
  • Resolución del problema de mínimos cuadrados.
  • Aplicaciones de la descomposición en valores singulares.
  • Aplicaciones sobre matrices positivas.

  Se hará especial hincapié en los aspectos numéricos, de cálculo y en las aplicaciones.

• METODOLOGÍA.
  Las clases se imparten al ritmo habitual de 3 horas semanales de teoría y 2 horas semanales de problemas. Estas últimas se impartirán en el aula informática, donde se realizará una introducción a los programas Maple y Matlab para la resolución efectiva de los ejercicios. Además, se realizarán unas prácticas orientadas a las aplicaciones más importantes de los contenidos.
• EVALUACIÓN.
  Existen dos formas de aprobar la asignatura. La primera es mediante la realización de controles periódicos, consistentes en ejercicios y prácticas por ordenador. La segunda es a través del examen final, previsto para (pendiente de Junta de Facultad).
• PROGRAMA

  Tema 1. Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas diagonales y triangulares. Eliminación de Gauss. Eliminación de Gauss-Jordan. Estrategias de pivoteo. Sistemas mal condicionados. Forma escalonada y reducida por filas. Aplicación. Sistemas homogéneos. (12 horas)

  Tema 2. Métodos directos de resolución. Matrices elementales y equivalencia de matrices. Factorización LU. Factorización de Cholesky. Factorización QR. Transformaciones de Householder. (13 horas)

  Tema 3. Autovalores y autovectores. Introducción. Endomorfismos diagonalizables. Lema de Schur. Teoremas espectrales. Matrices hermitianas y unitarias. Matriz de covarianza. Análisis de componentes principales. Forma canónica de Jordan y base canónica. Algoritmo de construcción. Aplicación a relaciones de recurrencia. Solución de ecuaciones homogéneas. Solución de ecuaciones no homogéneas. (11 horas)

  Tema 4. Normas de vectores y matrices. Definiciones. Normas subordinadas. Estabilidad numérica. Número de condición de una matriz. (9 horas)

  Tema 5. Inversas generalizadas. Mínimos cuadrados. Proyección ortogonal. Inversas generalizadas. Inversa generalizada de Moore-Penrose. Mínimos cuadrados. Solución mínimo-cuadrática de un sistema incompatible. Solución mínimo-cuadrática de norma mínima. Mínima varianza. Teorema de Gauss-Markov. Descomposición en valores singulares. Propiedades matriciales. Aplicaciones: compresión de imágenes, modelos de búsqueda en Internet. Resolución numérica de mínimos-cuadrados. (13 horas)

  Tema 6. Métodos de cálculo de autovalores. Introducción. Círculos de Gerschgorin. Método de la potencia. Método de la potencia inversa. Iteración por el cociente de Rayleigh. Deflación. Algoritmo QR. Algoritmo QR trasladado. Preparación a forma de Hessenberg. Otros algoritmos. (12 horas)

  Tema 7. Aplicaciones a matrices no negativas. Modelos de poblaciones discretos. Cadenas de Markov homogéneas y finitas. Modelos económicos de Leontieff. (5 horas)

  El último tema se explicará en forma de prácticas a lo largo del curso, dado que consiste en aplicaciones de resultados anteriores.

• REQUISITOS. La asistencia es opcional, y se pretende que aquellos alumnos que estén trabajando puedan seguir la asignatura de forma remota. Para ello, en http://www.personal.us.es/gago se incluirá toda la información relativa a la asignatura: apuntes, prácticas propuestas cada semana, hojas en Maple y Matlab, y documentos de aplicaciones de la materia. El software necesario se puede conseguir a través del servicio de informática situado en el ala L2 de la Escuela Superior de Informática.
• BIBLIOGRAFÍA GENERAL

  1. Basilevsky, A. Applied Matrix Algebra in the Statistical Sciences. Ed. North Holland, 1983.
  2. Burden, R.L. y Faires, J. D. Análisis numérico. Grupo Editorial Iberoamericano, 1996.
  3. Demmel, J.W. Applied numerical linear algebra. SIAM 1997.
  4. Gentle, J.E., Numerical Linear Algebra for applications in statistics, Springer, 1998.
  5. Graybill, F.A. Matrices with applications in Statistics. Ed. Wardsworth, 1983.
  6. Lancaster, P. y Tismenetsky, M. The theory of matrices : with applications. Academic Press, 1985.
  7. Lange, K. Numerical Analysis for statisticians, Springer, 1999.
  8. Merino, L.M. y Santos, E. Álgebra Lineal con métodos elementales. Thomson.
  9. Meyer, C.D. Matrix analysis and applied linear algebra. SIAM 2000.

  10. Schott. J.R., Matrix Analysis for Statistics, Wiley, 2005.
  11. Soto, M.J. y Vicente J.L. Álgebra lineal con Matlab y Maple. Ed.Prentice-Hall, 1995.
  12. Strang, G. Álgebra lineal y sus aplicaciones. Ed. Addison Wesley, 1990.
  13. Trefethen, L.N. y Baum, D. Numerical Linear Algebra. SIAM 1997.
  14. Abell, M.L. Maple V by example. Academic Press 1994.
  15. Matlab: edición del estudiante. Versión 4. Guía del usuario. Ed. Prentice Hall, 1995.
  16. García de Jalón, J., Rodríguez, J.I., Vidal, J. Manuales de Matlab y Maple en

      http://mec21.etsii.upm.es/ayudainf/aprendainf/varios.htm.

• BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA

  • Tema 1. Gentle, Merino, Meyer, Strang.
  • Tema 2. Burden, Demmel, Meyer, Strang, Trefethen.
  • Tema 3. Lancaster, Merino, Meyer, Strang.
  • Tema 4. Burden, Lancaster, Meyer, Strang.
  • Tema 5. Demmel, Gentle, Graybill, Merino, Meyer, Schott, Strang, Trefethen.
  • Tema 6. Burden, Demmel, Meyer, Strang.
  • Tema 7. Basilevsky, Graybill, Lancaster, Meyer.
  Las tres últimas referencias son para los programas de cálculo usados en el aula informática.
• TUTORÍAS

  Martes, de 11:30 a 13:30, y de 17:30 a 19:30. Viernes, de 11:30 a 13:30.

Fdo.: Manuel Jesús Gago Vargas

Fecha: 13 de Junio de 2006