Tema 1.-

Variedades algebraicas afines. Anillo de coordenadas. Dimensión. El haz de las funciones regulares sobre una variedad afín. Anillos de gérmenes y localización.

Tema 2.-

Morfismos de variedades algebraicas afines. La categoría de las variedades afines.

Tema 3.-

Conjuntos analíticos complejos. Anillos de series convergentes. Teorema de preparación de Weierstrass.

Tema 3.-

Puntos regulares y puntos singulares. Espacio tangente. Anillos locales regulares I.

Tema 4.-

Filtraciones, graduaciones y completaciones.

Tema 5.-

Funciones de Hilbert-Samuel. Cálculos efectivos.

Tema 6.-

Teoría de la dimensión de los anillos locales noetherianos. Anillos locales regulares II.

Tema 7.-

Explosiones. Resolución de singularidades de curvas planas.

Temas complementarios.-

(C-1) Variedades de dimensión cero: cálculos explícitos. (C-2) Topología de Zariski de los espacios proyectivos. Clausura proyectiva: cálculos explícitos. (C-3) Eliminación de variables: cálculos explícitos. (C-3) Cono tangente: cálculos explícitos. (C-4) La categoría de las variedades algebraicas abstractas. (C-5) La categoría de los esquemas.

Bibliografía

1. Atiyah, M. y MacDonald, I.G.: Introducción al álgebra conmutativa. Ed. Reverté, 1975. (Versión inglesa en ed. Addison - Wesley, 1969).
2. Cox, D., Little, J., O'Shea, D. Ideals, varieties, and algorithms. Springer-Verlag, 1996.
3. Dieudonn\' e, J. Cours de Géométrie Algébrique, II: Précis de Géométrie Algébrique élémentaire. Presses Univ. de France, Paris, 1974.
4. Eisenbud, D. Commutative algebra with a view toward Algebraic Geometry. GTM, 150. Springer-Verlag (1995).
5. Eisenbud, D. et al. Computations in Algebraic Geometry with Macaulay 2. Algorithms and Computation in Mathematics, vol. 8. Springer-Verlag (2002).
6. Fulton, W.. Curvas algebraicas. Ed. Reverté, 1971. (Versión inglesa en ed. Benjamin, 1969).
7. Hartshorne, R. Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics, 52. Springer Verlag, New York, 1977.
8. Kunz, E.. Introduction to commutative algebra and algebraic geometry. Ed. Birkhäuser, 1985.
9. Mumford, D. Algebraic Geometry I. Complex Projective Varieties. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 221. Springer Verlag, Berlin, 1976.
10. Shafarevich, I.R.. Basic algebraic geometry. 1. Varieties in projective space. Second edition. Springer-Verlag, Berlin, 1994.

OBJETIVOS Y METODOLOGÍA

Los objetivos de la asignatura son: (a) Conocer y saber manejar las variedades algebraicas afines y la correspondencia puntos vs. ideales maximales. (b) Comprender la noción de ``singularidad" y su expresión algebraica a través de los anillos locales. (c) Conocer los procedimientos de cálculo de los invariantes de las variedades o de las singularidades a través de sus anillos de coordenadas o de sus anillos locales.

A lo largo de la asignatura se ofrecerán ejemplos y prácticas de utilización de los programas de cálculo simbólico.

De las 4 horas horas de clase semanales, 2 se dedicarán a la exposición del contenido teórico por parte del profesor, 1 a la exposición por parte de los estudiantes de las cuestiones propuestas y 1 a la realización de ejercicios y prácticas.

Se fomentará y valorará el trabajo personal y el manejo de la bibliografía.

SISTEMAS DE EVALUACIÓN

1) Habrá una evaluación continua basada en la resolución, redacción y/o exposición de cuestiones, prácticas, ejercicios y temas complementarios a lo largo del curso.

2) Habrá pruebas cortas escritas sobre el contenido teórico de la asignatura a lo largo del curso.

3) Aquellos estudiantes que no superen la evaluación a través de 1) y 2) habrán de realizar un examen final consistente en ejercicios prácticos y en cuestiones teóricas. Dicho examen se realizará el ?? de junio de 2006.

Sevilla, a 21 de junio de 2006.

Fdo.: Luis Narváez Macarro                Fdo.: José M. Ucha Enríquez