Proyecto docente de la asignatura ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
de la Licenciatura de Matemáticas,
Facultad de Matemáticas, Universidad de Sevilla,
para el curso 2006-07

Profesores:

Francisco Javier Calderón Moreno Francisco Jesús Castro Jiménez (Coordinador) Manuel Jesús Soto Prieto José María Tornero Sánchez

Departamento de Álgebra
(http://www.us.es/da/docencia.htm)

Esta asignatura troncal tiene asignados 9 créditos; 6 créditos relativos a resultados teóricos y 3 a prácticas (problemas y ejercicios). El objetivo es desarrollar la teoría de los anillos conmutativos y sus módulos iniciada en la asignatura Álgebra (obligatoria del segundo cuatrimestre del tercer curso de la Licenciatura de Matemáticas). Dichos objetos son la herramienta común de la Geometría Algebraica y de la Teoría de Números.

Es muy conveniente que el alumno haya cursado previamente la asignatura Álgebra.

Tema 1.- Anillos e ideales. Morfismos de anillos. Anillos de polinomios. Teorema de la base de Hilbert. Divisibilidad y factorización.

Tema 2.- Operaciones con ideales. Ideales primos y maximales. Extensión y contracción.

Tema 3.- Módulos. Morfismos de módulos. El módulo Hom(M,N). Operaciones con submódulos. Módulos finitamente generados. Lema de Nakayama.

Tema 4.- Módulos sobre un dominio de ideales principales. Teorema de estructura. Aplicaciones.

Tema 5.- Álgebras. Producto tensorial de módulos y álgebras.

Tema 6.- Teorema de los ceros de Hilbert. Introducción al lenguaje geométrico. Bases de Gröbner. Eliminación. Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas.

1. Atiyah, M.; MacDonald, I.G.: Introducción al álgebra conmutativa. Ed. Reverté, 1975. (Versión inglesa en ed. Addison - Wesley, 1969).
2. Cox, D., Little, J., O'Shea, D. Using algebraic algebraic. Springer-Verlag, 1998.
3. Cox, D., Little, J., O'Shea, D. Ideals, varieties, and algorithms. Springer-Verlag, 1996.
4. Eisenbud, D. Commutative algebra with a view toward Algebraic Geometry. GTM, 150. Springer-Verlag (1995).
5. Eisenbud, D. et al. Computations in Algebraic Geometry with Macaulay 2. Algorithms and Computation in Mathematics, vol. 8. Springer-Verlag (2002).
6. Fulton, W. Curvas algebraicas. Ed. Reverté S.A. (1971).
7. Greuel, G-M. and Pfister, G.: A Singular Introduction to Commutative Algebra. Springer-Verlag (2002).
8. Husishi Li.: An introduction to Commutative Algebra, World Scientific, 2004.
9. Kunz, E.: Introduction to commutative algebra and algebraic geometry. Ed. Birkhäuser, 1985.
10. Matsumura, H.: Commutative Algebra. Ed. Benjamin, 1975.
11. Reid, M.: Undergraduate commutative algebra. Cambridge Univ. Press, 1993.
12. Vasconcelos, W.V. Computational Methods in Commutative algebra and Algebraic Geometry. Algorithms and Computation in Mathematics, vol. 2. Springer-Verlag (1998).
13. Zariski, O; Samuel, P.: Commutative Algebra (vol. I y II). Ed. Van Nostrand, 1958. (Ed. Springer, 1990).

La asignatura desarrolla la teoría de los anillos conmutativos y sus módulos iniciada en la asignatura Álgebra (obligatoria del segundo cuatrimestre del tercer curso de la Licenciatura de Matemáticas). Dichos objetos son la herramienta común de la Geometría Algebraica y de la Teoría de Números.

Los objetivos que se persiguen son:
a) Conocer la teoría de anillos conmutativos y de módulos sobre estos.
b) Conocer el Teorema de estructura de módulos finitamente generados sobre un DIP y conocer algunas de sus aplicaciones.
c) Conocer el Teorema de los ceros de Hilbert y sus aplicaciones geométricas. Conocer las técnicas de bases de Gröbner en el anillo de polinomios en varias indeterminadas y algunas de sus aplicaciones.

La materia presentada en este programa sirve de base a futuros estudios en Álgebra, Geometría Algebraica y Geometría Analítica (en particular a las asignaturas optativas Álgebra Conmutativa, Curvas algebraicas y Analíticas, Geometría Algebraica y Superficies de Riemann, de cuarto y quinto cursos) y de complemento a posibles estudios en otros temas afines, como son la teoría de números o la teoría algebraica de los sistemas diferenciales (D-módulos).

Las clases teóricas se complementan con unas clases prácticas en las que el alumno es invitado a ser parte activa, participando en el desarrollo de las mismas, proponiendo ejercicios de aplicación de la teoría o resolviendo problemas anteriormente propuestos.

Se dará especial importancia al trabajo personal de cada alumno y se fomentará el trabajo en pequeños grupos, proponiendo a éstos la realización y exposición en su caso de ejercicios y temas complementarios a los del presente programa.

La evaluación se realizará mediante dos exámenes parciales (fechas: 01/12/2006 y 22/01/2007) y un examen final (fecha: 08/02/2007). Los alumnos que superen ambos exámenes parciales se considerarán aprobados por curso. Asimismo, para fomentar el trabajo personal del alumno se tendrá en cuenta, para la calificación final, la realización de ejercicios y/o trabajos propuestos en clase a lo largo del curso. Los exámenes versarán sobre los contenidos teóricos y prácticos desarrollados en clase.

Fdo.: Francisco Javier Calderón Moreno Fdo.: Francisco Jesús Castro Jiménez

Fdo.: Manuel Jesús Soto Prieto Fdo.: José María Tornero Sánchez.