PROGRAMA DE CURVAS ALGEBRAICAS Y ANALÍTICAS

Curso 2006-2007

1  Temario

  1. Hipersuperficies afines y proyectivas. Componentes. Intersección de hipersuperficie y recta. Puntos singulares.

  2. Funciones racionales. Funciones regulares en un punto. Anillos correspondientes.

  3. Intersección de dos curvas planas. Teorema de Bézout y sus consecuencias.

  4. Haces de cónicas. Clasificación.

  5. Haces de cúbicas. Puntos de inflexión. Ley de grupo.

  6. Teorema de Puiseux. Parametrizaciones de curvas planas. Cálculo de la multiplicidad de intersección.

  7. Curvas duales.

  8. Iniciación a la geometría birracional.

2  Actividad docente

Se trata de conseguir dos finalidades. La primera de ellas es recuperar la teoría clásica de curvas proyectivas, utilizando los recursos del álgebra conmutativa. Apostamos por una actualización profunda de los textos más sobresalientes del pasado. Para ello utilizamos los libros clásicos de L”ffler y el de Semple-Roth (en inglés), todos de principios del siglo XX. Hay mucha geometría dentro de esos libros, aunque la falta de técnica de entonces llevaba a desarrollos muy largos. Se trata de estructurar los resultados buscando el hilo conductor del álgebra conmutativa.

Por otra parte se trata de computar lo máximo posible. Para ello no partimos de cero. Hay una tesina de la Universidad de Berna del a¤o 1992 en la que se implementan en Maple los teorema del libro de Brieskorn-Kn”rrer. Hay varias piezas separadas de software Maple para curvas elípticas, resolución de singularidades y algunos temas puntuales más. Está el trabajo enorme de Xambó sobre computación en anillos de intersección. Tendemos al ideal de computar todas las cosas que se den en el curso.

El desarrollo normal de la actividad docente se hará al ritmo de cuatro clases semanales teórico-prácticas. En la página web del Departamento se podrán encontrar las notas de clases teóricas, junto con cualquier material de prácticas que puede ser de utilidad inmediata para los estudiantes.

3  Profesorado

Dr. Vicente Córdoba, José Luis (clases teóricas y prácticas).

4  Sistemas y criterios de evaluación

Habr  dos alternativas para conseguir aprobar la asignatura:

  1. Por curso: resolviendo satisfactoriamente las hojas de problemas que se entregarán al menos una vez por semana.

  2. Mediante examen final en la convocatoria oficial de la Facultad.
Existir  la posibilidad de hacer trabajos complementarios para subir nota que consistirán exclusivamente en exposición en clase de temas propuestos por el profesor.

References

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Brieskorn-Kn”rrer: Plane algebraic curves. Birkh„user.

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Clemens: A scrapbook on complex-curve theory . Plenum Press, 1980.

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J„ger: Ein Softwarepaket fr die algebraische, pojektive Geometrie in Maple. Berna, 1992

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L”ffler: Ebene algebraische Kurven. Stuttgart, 1920.

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Semple-Roth: Algebraic Geometry. Oxford Univ. Press.



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On 9 Oct 2006, 01:20.