Tema 0.-

Repaso de anillos, ideales y módulos. Computabilidad en anillos. Uso de herramientas informáticas.

Tema 1.-

Generadores y bases. Módulos libres. Sicigias (I). El lema de Nakayama: sistemas minimales de generadores. Caso graduado.

Tema 2.-

El lenguaje de las categorías. Complejos. Módulos proyectivos, inyectivos y planos.

Tema 3.-

Anillos de fracciones. Localización.

Tema 4.-

Dependencia entera. Cadenas de ideales primos. Dimensión de Krull.

Tema 5.-

Lema de normalización de Noether. Consecuencias.

Tema 6.-

Anillos noetherianos.

Tema 7.-

Teorema de los ideales principales de Krull. Consecuencias.

Tema 8.-

Sicigias (II): complejos de Koszul. Sucesiones regulares.

Tema 9.-

Sicigias (III): Teorema de Hilbert. Dimensión proyectiva.

Temas complementarios.-

(C-1) Espectro de un anillo. (C-2) Condiciones de cadena ascendente y de cadena descendente. (C-3) Introducción al Álgebra Homológica. (C-4) Anillos artinianos. (C-5) Anillos de valoración discreta. Dominios de Dedekind. (C-6) Cuerpos de números algebraicos. Ramificación. (C-7) Herramientas de cálculo simbólico en Álgebra Conmutativa.

Bibliografía

1. Atiyah, M. y MacDonald, I.G.: Introducción al álgebra conmutativa. Ed. Reverté, 1975. (Versión inglesa en ed. Addison - Wesley, 1969).
2. Cox, D., Little, J., O'Shea, D. Ideals, varieties, and algorithms. Springer-Verlag, 1996.
3. Eisenbud, D. Commutative algebra with a view toward Algebraic Geometry. GTM, 150. Springer-Verlag (1995).
4. Eisenbud, D. et al. Computations in Algebraic Geometry with Macaulay 2. Algorithms and Computation in Mathematics, vol. 8. Springer-Verlag (2002).
5. Fulton, W.: Curvas algebraicas. Ed. Reverté, 1971. (Versión inglesa en ed. Benjamin, 1969).
6. Kunz, E.: Introduction to commutative algebra and algebraic geometry. Ed. Birkhäuser, 1985.
7. Matsumura, H.: Commutative Algebra. Ed. Benjamin, 1975.
8. Matsumura, H.: Commutative Ring Theory. Cambridge Univ. Press, 1986.
9. Miller, E. and Sturmfels, B. Combinatorial commutative algebra. Graduate Texts in Mathematics 227, Springer-Verlag, New York, 2005.
10. Reid, M.: Undergraduate commutative algebra. Cambridge Univ. Press, 1993.
11. Samuel, P. Teoría algebraica de números. Ed. Omega, Colección Métodos, Barcelona, 1972.
12. Vasconcelos, W.V. Computational Methods in Commutative algebra and Algebraic Geometry. Algorithms and Computation in Mathematics, vol. 2. Springer-Verlag (1998).
13. Zariski, O; Samuel, P.: Commutative Algebra (vol. I y II). Ed. Van Nostrand, 1958. (Ed. Springer, 1990).

OBJETIVOS Y METODOLOGÍA

En Matemáticas es frecuente encontrar problemas o cuestiones que requieran considerar sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes en un anillo conmutativo arbitrario en lugar de un cuerpo. El Álgebra Conmutativa es en primera instancia la encargada de generalizar los métodos y los resultados del Álgebra Lineal al caso de los anillos conmutativos, así como del estudio y clasificación de estos últimos.

Los objetivos de la asignatura son: (a) Aprender a utilizar los anillos y módulos de fracciones como técnica básica.
(b) Conocer con detalle las pruebas de los teoremas de normalización de Noether, de los ideales principales de Krull y de las sicigias de Hilbert, así como sus primeras aplicaciones.
(c) Tomar contacto con el problema de las resoluciones libres de módulos como inicio del Álgebra Homológica.

A lo largo de la asignatura se ofrecerán ejemplos de utilización de los programas cálculo simbólico.

De las 4 horas horas de clase semanales, 2 se dedicarán a la exposición del contenido teórico por parte del profesor, 1 a la exposición por parte de los estudiantes de las cuestiones propuestas y 1 a la realización de prácticas.

Se fomentará y valorará el manejo de la bibliografía.

SISTEMAS DE EVALUACIÓN

1) Habrá una evaluación continua basada en la resolución, redacción y/o exposición de cuestiones, prácticas, ejercicios y temas complementarios a lo largo del curso.

2) Habrá pruebas cortas escritas sobre el contenido teórico de la asignatura a lo largo del curso.

3) Aquellos estudiantes que no superen la evaluación a través de 1) y 2) habrán de realizar un examen final consistente en ejercicios prácticos y en cuestiones teóricas. Dicho examen se realizará el ?? de junio de 2006.

Sevilla, a 21 de junio de 2006.

Fdo.: Luis Narváez Macarro                Fdo.: Beatriz Rodríguez González