PROGRAMA DE DOCTORADO "MATEMÁTICAS"

CURSO 2004-05

Programa de Doctorado con mención de calidad otorgada por el Ministerio de Educación y Ciencia en la convocatoria del  curso académico 2004/ 2005.

DEPARTAMENTOS PARTICIPANTES:

DEPARTAMENTO DE ÁLGEBRA (DEPTO. RESPONSABLE)

DEPARTAMENTO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

DEPARTAMENTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y ANÁLISIS NUMÉRICO

DEPARTAMENTO DE GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA II

El Programa de Doctorado “Matemáticas” ofrece 17 cursos, con un total de  60 créditos, y  24 líneas de investigación  en las Áreas de Conocimiento: Álgebra,  Análisis Matemático, Geometría y Topología, y Matemática Aplicada.  Será desarrollado por  un grupo de 23 profesores  pertenecientes a cinco departamentos universitarios.  Todos los profesores son o bien investigadores principales o bien miembros de grupos de investigación reconocidos y financiados por la Junta de Andalucía a través del III Plan Andaluz de Investigación.  Además participan actualmente en 15 Proyectos de I+D de la DGES. En los últimos cinco años, y dentro de los programas de doctorado correspondientes,  han sido defendidas (y/o dirigidas)  45 Tesis Doctorales. Los resultados obtenidos en las Tesis han dado lugar a más de 100  publicaciones en revistas especializadas. En los últimos cursos, este programa ha contado con alrededor de 15 alumnos por año, la mitad de los cuales (aproximadamente) ha conseguido el D.E.A. 

1)       Antecedentes del programa.

Desde su creación los Departamentos de Álgebra, Análisis Matemático, Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Geometría y Topología y Matemática Aplicada II han desarrollado programas de doctorado destinados a la formación de licenciados en las materias correspondientes a las áreas de conocimiento y líneas de investigación propias de cada uno de ellos. Ante la reducción del número de alumnos que se matriculan en estudios de tercer ciclo en los últimos años,  la conveniencia de incorporar cursos de carácter interdisciplinario para dar una formación  integral a los alumnos de este ciclo, y para fomentar la colaboración entre la investigación en diversas áreas, los departamentos citados llegaron al acuerdo de desarrollar un programa de doctorado común que con el título de “Matemáticas” se ha impartido en los últimos cinco bienios. 

Este programa ha tenido una buena aceptación, con un número de alumnos de alrededor de 15 por cada curso académico. Un total de 24 alumnos procedentes de otras universidades nacionales o extranjeras han estado matriculados en los últimos 5 años. Los países de procedencia han sido: Argentina, Brasil, Colombia, Cuba, Ecuador, Marruecos, México, Portugal y Turquía. Por otra parte, 11 alumnos han sido beneficiarios de una beca para la realización de sus estudios de doctorado. Los organismos que han concedido las becas han sido: Ministerio de Educación y Cultura, Ministerio de Ciencia y Tecnología, Junta de Andalucía, Universidad de Sevilla (plan propio) y la Fundación Cámara. La mayor parte de los alumnos ingresados en este programa han realizado su  Tesis doctoral, se contabilizan 45 en los últimos 5 años, o están realizándola en estos momentos.

Algunos de los profesores del programa de doctorado han participado y participan en diversos programas de cooperación científica con centros universitarios de otros países. Estas relaciones han supuesto un enriquecimiento mutuo de nuestros programas de doctorado. Entre los acuerdos de colaboración debemos citar: 6 acciones integradas con Francia, 1 acción integrada con Austria, 1 acción integrada con Italia, 1 acción integrada con Alemania, 3 acuerdos de colaboración con Marruecos (a través de la Agencia de Cooperación Internacional), 1 acuerdo de colaboración con Chile y un proyecto europeo TMR-MHS2000.

2)       Justificación de su necesidad.

La Universidad de Sevilla es una de las Universidades españolas con mayor número de  estudiantes y profesores de Matemáticas. Valga como dato que tras la convocatoria de 2003 la Universidad de Sevilla ha sido la Universidad española con más proyectos de investigación de Matemáticas en vigor subvencionados por el MCyT.

Este Programa de Doctorado trata de aprovechar la indudable infraestructura, docente e investigadora,  con la que contamos para satisfacer la demanda de estudios de doctorado en Matemáticas. Aunque no es excesivamente numerosa (entre 10 y 20 estudiantes al año en toda la Universidad de Sevilla), creemos que atenderla tiene un interés estratégico con vistas a la consolidación de la investigación matemática en nuestro país, así como con respecto a las necesidades docentes universitarias a la vuelta de los próximos años.

3) Objetivos que se persiguen. 

Desarrollaremos aquí los objetivos de carácter general que se persiguen con el programa de Doctorado. Objetivos más concretos se describen en cada uno de los cursos propuestos. El programa ofrece una variedad de cursos que incluye desde los que tienen como objetivo fundamental la formación teórica en determinadas áreas hasta los que conjugan el aspecto teórico con la formación en técnicas de aplicación concreta a otras disciplinas como la Física, la Ingeniería y la Biología. 

3.1   En el período docente

Completar la formación de  los alumnos impartiendo materias de carácter interdisciplinar, que les permitan relacionar los conocimientos adquiridos en primero y segundo ciclos y conocer sus aplicaciones.  Se pretende de esta forma que los alumnos puedan obtener una visión global de las matemáticas a la vez que empiezan su especialización en áreas concretas. Impartir materias específicas en cada una de las áreas, que permitan a los alumnos adquirir los conocimientos necesarios para comenzar su período de trabajo de investigación conducente al D.E.A.

3.2   En el período de investigación  

Conseguir que los alumnos adquieran la capacidad  de recopilar información sobre alguna de las líneas de investigación ofrecidas y  puedan comprender y analizar esta  información. Plantear problemas con indicaciones sobre formas de resolución, mostrando soluciones de otros problemas similares,  para que empiecen a adquirir destrezas en tareas investigadoras.

3.3   Durante la realización de la Tesis Doctoral

Aumentar la información y destreza de los alumnos en tareas investigadoras mediante la tutela de su trabajo, la asistencia a congresos y reuniones especializadas y la estancia en otros centros nacionales o extranjeros donde se realice  investigación en la misma línea.

Relación completa de los cursos que componen el programa y número de créditos por curso. Relación de profesores participantes, especificando los cursos y créditos que cada uno impartirá en el programa.

        HORARIOS y AULAS

                          PROGRAMA DE DOCTORADO     “MATEMÁTICAS”

CURSO ACADÉMICO 2004/ 2005

PLAN DE ORGANIZACIÓN DOCENTE  - HORARIOS – DPTO.  ÁLGEBRA

                          PROGRAMA DE DOCTORADO     “MATEMÁTICAS”

CURSO ACADÉMICO 2004/ 2005 PLAN DE ORGANIZACIÓN DOCENTE

  DPTO.  ANÁLISIS MATEMÁTICO

12:00  a   13:30

                          PROGRAMA DE DOCTORADO     “MATEMÁTICAS”

CURSO ACADÉMICO 2004/ 2005  - PLAN DE ORGANIZACIÓN DOCENTE 

HORARIOS -DPTO:    ECUACIONES DIFERENCIALES Y ANÁLISIS NUMÉRICO

                          PROGRAMA DE DOCTORADO     “MATEMÁTICAS”

CURSO ACADÉMICO 2004/ 2005

PLAN DE ORGANIZACIÓN DOCENTE 

HORARIOS  -  DPTO.  GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA

                          PROGRAMA DE DOCTORADO     “MATEMÁTICAS”

CURSO ACADÉMICO 2004/ 2005

PLAN DE ORGANIZACIÓN DOCENTE 

HORARIOS  -  DPTO.  MATEMÁTICA APLICADA  II

Programa resumido de cada curso junto con los objetivos pedagógicos que se pretenden conseguir y la bibliografía más relevante recomendada. Metodología utilizada para la enseñanza-aprendizaje en cada curso programado. Criterios de evaluación utilizados en cada curso.

         1) Álgebra conmutativa y álgebra homológica (3 créditos.)

Programa resumido.

1) Descomposición primaria. Cadenas de ideales primos.

2) Polinomio de Hilbert-Samuel: dimensión y multiplicidad. Cálculos efectivos.

3) Anillos locales regulares. Puntos simples y singulares de variedades algebraicas. Criterio Jacobiano.

4) Filtraciones y graduaciones. Completaciones. Anillos de Zariski.

5) La categoría de módulos sobre un anillo: Módulos libres, proyectivos, inyectivos y planos. .

6) Complejos de módulos. Equivalencias de homotopía. Resoluciones. Funtores Tor y Ext. Funtores derivados.

7) Métodos homológicos en Álgebra Conmutativa: profundidad; sucesiones regulares y complejos de Koszul; anillos y módulos de Cohen-Macaulay; dimensión homológica;. teorema de las sicigias de Hilbert; teorema de Serre; teorema de Auslander-Buchbaum.

8) Categorías abelianas. Funtores aditivos. Categorías de complejos. Categorías trianguladas y categorías derivadas. Funtores derivados totales. Ejemplos: categorías de haces. Teoremas de dualidad.

Objetivos pedagógicos que se pretenden conseguir..

El Álgebra Conmutativa y el Álgebra Homológica constituyen el lenguaje y una de las herramientas básicas de la Geometría Algebraica, de la Teoría de Singularidades y de la Teoría de D-módulos. El objetivo principal que perseguimos es que el estudiante logre una maestría en el uso del Álgebra Conmutativa y del Álgebra Homológica como herramienta de las disciplinas anteriores. Para ello proporcionamos desde un principio aplicaciones “notables” de los conceptos tratados.

Bibliografía más relevante recomendada.

[1] N. Bourbaki. Algèbre, Ch X. Masson 1980.

[2] N. Bourbaki. Algèbre Commutative, chap. 3, 4. Hermann, 1967.

[3] N. Bourbaki. Algèbre Commutative, chap. 8, 9. Masson, 1983..

[4] S. Gelfand and Y. Manin. Methods of homological algebra I: introduction to cohomology theory and derived categories. Springer Verlag, 1991.

[5] I. Kaplansky. Commutative Rings. U. Chicago Press 1974.

[6] E. Kunz. Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry. Birkhäuser 1985

[7] H. Matsumura. Commutative Álgebra. Benjamín 1980

[8] H. Matsumura. Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Adv. Math. 1986

[9] J.J.Rotman.  An Introduction to Homological Algebra. Academic Press 1979

[10] J.P. Serre. Algèbre Local Multiplicités. Springer 1975.

[11] J.L. Verdier. Des catégories dérivées des catégories abéliennes. Astérisque 239, SMF, 1996.

[12] C.A. Weibel. An introduction to homological algebra. Cambridge University Press, 1994.

Metodología utilizada para la enseñanza-aprendizaje.

El profesor ofrecerá pruebas detalladas y completas de los resultados expuestos. La asimilación por parte de los estudiantes se favorecerá mediante la propuesta sistemática de ejercicios de dificultad creciente, comenzando por aquellos consistentes en la repetición de los pasos explicados en clase, y llegando cuando sea posible a problemas de investigación resueltos en las últimas décadas.

Criterios de evaluación utilizados.

La evaluación se realizará a través de la exposición y de la corrección de los ejercicios propuestos.

2) Geometría Algebraica (4 créditos)

Programa resumido:

1) Variedades algebraicas. Curvas y superficies en el espacio proyectivo.

2) Morfismos. Correspondencias.

3) Grado de variedades proyectivas. Teorema de Bezout.

4) Singularidades. Resolución de curvas.

5) Superficies racionales (cuádricas, cúbicas no regladas, la cúbica reglada, la superficie romana de Steiner)

Objetivos pedagógicos que se pretenden conseguir.

Recuperar, dentro de lo posible, conocimientos de geometría clásica de curvas y superficies, que ya son muy escasos en los planes de estudios vigentes. Esta escasez no se debe, ni mucho menos, a haber pasado de moda por haber temas más interesantes que estudiar. El problema está en que, dentro de los esquemas de los planes de estudio actuales, no da tiempo a establecer las bases que clásicamente se han necesitado para su exposición. Aquí pretendemos revisar estas bases, especialmente con la introducción de lenguaje algebraico sencillo y moderno, junto con algoritmos computacionales, para simplificar los desarrollos y poder llegar lo más pronto posible a los teoremas con enjundia. Hay un objetivo pedagógico claro: que los estudiantes puedan comprender y manejar conceptos clásicos como son: correspondencias, grado, curvas y superficies en grado bajo.

Bibliografía relevante:

[1] Brieskorn-Knorrer: Plane algebraic curves. Birkhauser. 1984.

[2] Clemens:  A scrapbook on complex-curve theory. Plenum Press. 1980

[3] Conforto, F: Le superficie razionali. Nicola Zanichelli, Bologna, 1939.

[4] Jager: Ein Softwarepaket fur die algebraische, pojektive Geometrie in Maple, Berna, 1992.

[5] Loffler:  Ebene algebraische Kurven, Stuttgart, 1920.

[6] Mumford, D: "The red book: Introduction to algebraic geometry" Versión original en multicopia del curso impartido en Harvard University en 1970.

[7] Semple-Roth: Algebraic Geometry, Oxford Univ. Press, 1949.

[8] Walker, Robert J.: Algebraic curves, New York, Dover, 1962

Metodología.

Lecciones clásicas de pizarra. Exposiciones por parte de los estudiantes de temas concretos, con bibliografía dada por el profesor. Resolución de cuestiones planteadas por el profesor, individualmente a cada estudiante, y por escrito, dando el tiempo suficiente. Laboratorio de cálculo en la medida de las posibilidades.

Criterios de evaluación utilizados.

Evaluación continua basada en la asistencia a clase y participación en los puntos segundo, tercero y cuarto anteriores.

3) Métodos combinatorios y efectivos en álgebra y en geometría (3 créditos.)

         Programa resumido.

1) Bases de Gröbner en anillos conmutativos.

2) Bases de Gröbner en anillos non conmutativos.

3) Teoría efectiva de la eliminación.

4) Cálculo de sicigias y resoluciones libres.

5) Métodos combinatorios y efectivos en álgebras de semigrupos y en variedades tóricas.

6) Métodos combinatorios y efectivos en álgebras de Weyl y en anillos de operadores diferenciales. Variedades tóricas y sistemas diferenciales hipergeométricos.

Objetivos pedagógicos.

El presente curso tiene como objetivo principal iniciar al alumno en el área de investigación del Álgebra Computacional y sus aplicaciones, con vistas, eventualmente, a posteriores trabajos de investigación en la misma. Se plantearán algunos problemas abiertos en el área. El segundo  objetivo es servir de introducción al diseño de algoritmos en álgebra y geometría y a su implantación en lenguages de programación especializados que permitan la resolución efectiva de los problemas  planteados. El tercer objetivo es adquirir destrezas en el manejo de aplicaciones informáticas concretas y su adaptación a los problemas combinatorios y efectivos en álgebra y geometría. Dado que los algoritmos diseñados para la resolución de problemas tienen una enorme complejidad se hace cada vez más necesario el uso de herramientas informáticas de las mejores prestaciones. El último  objetivo es presentar de forma natural y unificada las aplicaciones de la teoría de las bases de Gröbner tanto al álgebra conmutativa (álgebras de semigrupos y variedades tóricas) como al álgebra no conmutativa (álgebras de Weyl y los sistemas hipergeométricos asociados a dichas variedades tóricas). El contenido de este curso está en relación con los de otros cursos presentados en este programa como son: Geometría Algebraica, Álgebra Conmutativa y Álgebra Homológica y Teoría algebraica de los sistemas diferenciales: Teoría de D-módulos.

         Bibliografía más relevante.

         Bibliografía básica:

[1] Eisenbud, D.: Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, GTM 150, Springer, New York, 1995.

[2] Vasconcelos, W.V. Computational Methods in Commutative algebra and Algebraic Geometry. Algorithms and Computation in Mathematics, vol. 2. Springer-Verlag (1998).

[3] Sturmfelfs, B. Convex polytopes. AMS. 1994.

[4] Sturmfels, B., Saito, M., Takayama, N. Grobner deformations of hypergeometric differential equations. Vol.~6, Algorithms and Computation in  Mathematics. Springer-Verlag (2000) Berlin.

Bibliografía complementaria:

[1] Bayer-Mumford Bayer, D. , Mumford, D. What can be computed in algebraicgeometry? Computational algebraic geometry and commutative algebra (Cortona, 1991), 1--48, Sympos. Math., XXXIV, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993

[2] Becker, Th., Weispfenning, V. Groebner bases. A computational approach to commutative algebra. In cooperation with Heinz Kredel. Graduate Texts in Mathematics, 141. Springer-Verlag, New York, 1993.

        [3] Castro-Jiménez, F. J.; Takayama, N. Singularities of the hypergeometric system associated with a monomial curve. Trans. Amer. Math. Soc.         355 (2003), no. 9, 3761--3775

[4] Cox, Little O'Shea. Using algebraic geometry. GTM 185. Springer-Verlag (1998).

[5]  Li, Huishi Noncommutative Groebner bases and filtered-graded transfer. Lecture Notes in Mathematics, 1795. Springer-Verlag, Berlin, 2002.

[6] Pisón Casares, P.  The short resolution of a lattice ideal. Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003), no. 4, 1081--1091 

        Metodología.

La teoría de las bases de Gröbner se introducirán como la respuesta a diversos problemas clásicos de álgebra y geometría, esencialmente entorno a los problemas de pertenencia a ideales, a la eliminación de variables y al problema del cálculo de sicigias. Una de las herramientas básicas es la división (de tipo Weierstrass) en los diversos anillos considerados. Como esta división es efectiva, los resultados teóricos probados en el curso tienen como contrapartida un algoritmo que resuelve el problema tratado de forma constructiva. Se diseñarán dichos algoritmos durante el curso y se utilizarán implementaciones existentes (en Maple, Mathematica, Singular, Macaulay)  para tratar casos concretos. Dado que se trata de grupos reducidos de alumnos, se dispondrá en el aula de ordenadores personales suficientes para que los alumnos trabajen directamente en estas implementaciones. El uso de estaciones de trabajo está inicialmente previsto para los casos en que esto sea necesario. El seguimiento de los alumnos será individualizado. Como en otras ocasiones se propondrá a cada alumno, o a cada grupo si fuese necesario, un proyecto de trabajo concreto directamente relacionado con el contenido del curso y que le (les) permita  desarrollar técnicas y habilidades para la comprensión completa de los métodos y resultados de la teoría. Alternando con las clases magistrales se programarán sesiones de trabajo conjuntas (alumnos-profesores) donde se plantearán problemas concretos, de diversos grados de dificultad,  en las que los alumnos deberán aportar sus propias soluciones que serán sometidas a análisis por parte de todos los participantes. Las conclusiones serán moderadas y tuteladas por los profesores. Se fomentará la participación activa de los alumnos en las clases quienes aportarán ideas y sugerencias para la resolución de los problemas planteados en el curso.

         Criterios de evaluación.

Dado que se trabajará con grupos reducidos la evaluación será continua y tendrá en cuenta la participación del alumno en clase, las respuestas de éste a los problemas planteados y su capacidad para aportar tentativas de soluciones al proyecto de trabajo que se le asigne. El alumno deberá demostrar haber asimilado los resultados matemáticos explicados y probar su destreza en el uso de los paquetes de cálculo simbólico mencionados para la resolución de los problemas concretos planteados, desarrollando los trabajos (individuales o en grupo) propuestos.

4) Métodos algebraicos en los sistemas diferenciales: Teoría de D-módulos (4 créditos)

        Programa resumido. 

1) Módulos sobre las álgebras de Weyl y sobre los anillos de operadores diferenciales con coeficientes en anillos de series. Buenas filtraciones. Desigualdad de Bernstein. Multiplicidades. Módulos holónomos. Polinomios de Bernstein-Sato. Regularidad e irregularidad en una variable. Teoremas de división y bases de Gröbner.

2) Haces de anillos de operadores diferenciales en las variedades algebraicas lisas sobre un cuerpo de característica cero o en las variedades analíticas complejas lisas. Coherencia. Dimensión homológica.

3)  Buenas filtraciones sobre los (haces de) D-módulos. Variedad característica: involutividad. Dualidad algebraica. Sistemas holónomos. Ecuaciones funcionales de Bernstein-Sato. Localización y cohomología local algebraica.

4) Complejo de soluciones y complejo de de Rham. Fibrados con conexión integrable y sistemas locales. Imágenes directas. Teorema de constructibilidad. Sistemas de Gauss-Manin.

5) Imágenes inversas.Teorema de Cauchy-Kowalevskaya.

6) Teorema de dualidad local. Haces perversos.

7) Dualidad relativa.

8) Teorema de comparación de Grothendieck-Deligne. Irregularidad a lo largo de un subespacio. D-módulos holónomos regulares. Extensiones logarítmicas de Deligne respecto de cruzamientos normales. Teorema de existencia de Riemann. Equivalencia de Riemann-Hilbert.

9) Anillos de operadores diferenciales de orden infinito. Fiel planitud. Teorema de bidualidad local.

10) V-filtración. Polinomio de Bernstein-Sato y monodromía local de las singularidades de hipersuperficies.

Objetivos pedagógicos.

Este curso ofrece una panorámica de las nociones y de los resultados centrales que convierten a la teoría de D-módulos en uno de los pilares fundamentales de la teoría cohomológica de las variedades algebraicas (o analíticas) y de las singularidades. Las obras que incluimos en la bibliografía contienen desarrollos completos, actuales y detallados de las nociones y resultados anteriores, pero a menudo son de difícil  acceso. El objetivo principal del curso es servir de guía para conocer en su conjunto y poder asimilar el contenido de dichas obras. En algunos casos no es posible exponer las pruebas completas de los resultados, pero sin embargo insistimos en la dependencia lógica de los mismos, así como en su uso e interpretación en ejemplos geométricos "bien escogidos". Un estudiante que hubiera seguido este curso estaría bien preparado para acceder a las líneas de investigación actuales de la teoría y de sus aplicaciones en Geometría Algebraica, Teoría de Singularidades y Representaciones de grupos.

Bibliografía más relevante recomendada.

[1] S. Coutinho. A primer on algebraic {D}-modules. London Math. Society Student Texts, 33, Cambridge, 1995.

[2] J-E. Bjork. Rings of Differential Operators. North-Holland, Amsterdam 1979.

[3] J-E. Bjork. Analytic $D$-modules and applications. Mathematics and its Applications, 247. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993.

[4] Z. Mebkhout. Systemes differentiels. Le formalisme des six opérations de Grothendieck pour les D_X-  modules coherents. Hermann, Paris, 1989.

[5] Ph. Maisonobe, C. Sabbah (editores). Elements de la theorie des systemes differentiels (vol. {I, II}), Summer school at CIMPA, volume 45,46 of Travaux en cours. Hermann, Paris, 1993.

[6] Ph. Maisonobe, L. Narváez-Macarro (editores). Elements de la theorie des systemes differentiels géométriques. Séminaires et Congrés, vol 8. (2004) SMF, Francia.

[7] M. Kashiwara. Algebraic study of systems of linear differential equations. Master Thesis, Kyoto University (1971) Traducción al inglés en Mem. Soc. Math. France (N.S.),  63, 1995.

[8] Seminario de Grenoble. (M. Lejeune-Jalabert y B. Malgrange). Univ. De Grenoble (1979).

Metodología.

El contenido conceptual de este curso es muy denso. La labor del estudiante pasa necesariamente por un trabajo sistemático y constante sobre las referencias bibliográficas. La labor del profesor consiste por una parte en motivar y presentar con precisión las nociones y los resultados, y por otra en indicar los ingredientes y los argumentos fundamentales de las distintas demostraciones. De esta forma el estudiante dispone de todo lo necesario para seleccionar el material de las referencias bibliográficas y abordar con eficacia su comprensión técnica.

Criterios de evaluación utilizados.

5) Algunas funciones especiales de la Física Matemática (4 créditos)

Programa resumido.

1. Introducción histórica.

2. Generalidades sobre polinomios ortogonales en el plano complejo.

3. Polinomios ortogonales, escalares y matriciales, sobre la recta real. Propiedades algebraicas (ceros, fórmulas de cuadratura, relación de recurrencia a tres términos, etc.).

4. Los polinomios clásicos de Jacobi, Laguerre, Hermite y Bessel. Clasificación y diversas caracterizaciones. Fórmulas de estructura.

5. Las ecuaciones diferenciales de las familias clásicas en la física cuántica. El oscilador armónico y el átomo de hidrógeno. El método de Nikiforov y Uvarov.

6. Polinomios matriciales ortogonales verificando ecuaciones diferenciales de segundo orden. Reducción y solución de la ecuación diferencial para el peso matricial. La fórmula de Rodrigues matricial.

Objetivos pedagógicos.

Dentro de la gran familia de las funciones especiales de la física matemática, los polinomios ortogonales tienen un papel principal por la riqueza de su estructura y sus aplicaciones, especialmente en los modelos cuánticos más importantes. El objetivo principal del presente curso es familiarizar a los alumnos con las propiedades algebraicas y, sobre todo, analíticas de los polinomios ortogonales. Especial hincapié se hará en las ecuaciones diferenciales que verifican las familias clásicas escalares y las recientemente encontradas para las versiones matriciales (conviene recordar que estas ecuaciones diferenciales son la clave para sus aplicaciones físicas, en especial para la resolución de modelos cuánticos).

Bibliografia recomendada.

[1] R. Alvarez-Nodarse, Polinomios hipergemétricos y q-polinomios. Monografías del Seminario Matemático "García de Galdeano" Número 26. Prensas Universitarias de Zaragoza, Spain, 2003.

[2] V.G. Bagrov and D.M. Gitman, Exact Solutions of Relativistic Wave Equations. Kluwer, Dordrecht, 1990.

[3] J. L. Cardoso and R. Alvarez-Nodarse, Recurrence relations for radial wave functions for the N-th dimensional oscillators and hydrogenlike atoms. J. Phys. A: Math. Gen. 36 (2003), 2055-2068.

[4] T. S. Chihara, An Introduction to Orthogonal Polynomials. Gordon and Breach Science Publishers, Nueva York, 1978.

[5] A. J. Duran, On orthogonal polynomials with respect to positive definite matrix of measures, Can. J. Math. 47 (1995), 88-112.

[6] A. J. Duran, Markov's theorem for orthogonal matrix polynomials, Can. J. Math. 48 (1996),  1180-1195.

[7] A. J. Duran, Matrix inner product having a matrix symmetric second order di
erential opeator, Rocky Mount. J. Math. 27 (1997), 585-600.

[8] A. J. Durán y A. Grunbaum, Orthogonal matrix polynomials satisfying second order differential equations Int. Math. Res. Not. 10 (2004), 461-484.

[9] G. Freud, Orthogonal Polynomials. Pergamon Press, Oxford, 1971.

[10] Grunbaum, F. A.,Matrix valued Jacobi polynomials, Bull. Sciences Math. 127, 3, (May 2003), 207{214.

[11] A. F. Nikiforov y V. B. Uvarov, Special Functions of Mathematical Physics. Birkhäuser Verlag, Basilea, 1988.

[12] E. B. Saff, Orthogonal polynomials from a complex perspective. En: Orthogonal Polynomials. Theory and Practice. P. Nevai (Ed.) NATO ASI Series C, Vol. 294. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1990, 363{393.

[13] G. Szegö, Orthogonal Polynomials. Amer. Math. Soc. Coll. Pub. 23 American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1975 (cuarta edición).

Metodología.

El curso está dividido en dos partes: una primera compuesta por un sustrato de resultados teóricos (que incluyen tanto teoremas como técnicas de resolución) y una segunda donde se usará el contenido de la primera para resolver problemas aplicados. Se hará especial hincapié en las aplicaciones en física cuántica donde el conocimiento de las técnicas de funciones especiales permite la resolución de diversos modelos de forma unificada. Se mostrarán también algunas técnicas númericas y simbólicas (usando el programa Mathematica, por ejemplo) para problemas relacionados con los polinomios ortogonales. Con esta conjunción de teoría, técnicas y aplicaciones se conseguirá una mayor motivación del alumno lo que permitirá, por una parte, una mejor comprensión de la materia, y por otra, facilitar su aprendizaje.

Criterios de evaluación

La evaluación del alumno se hará mediante su participación en trabajos dirigidos a complementar parte del sustrato teórico (tanto en la demostración de teoremas como en la práctica de las técnicas). Dichos trabajos serán discutidos y evaluados a lo largo de curso.

6) Análisis de Fourier vectorial (3 créditos).

         Programa resumido.

1) Elementos de integración vectorial: Funciones y medidas vectoriales. Integrales de funciones vectoriales.

2) Elementos de series de Fourier: Series de Fourier. Sumabilidad en norma de las series de Fourier. Sumabilidad puntual: teoremas de Lebesgue y Fatou. Caso vectorial: espacios con la propiedad de Radon-Nikodym.

3) Convergencia en norma de las series de Fourier: Función conjugada. Convergencia en norma de la serie de Fourier. Espacios de Hardy. Caso vectorial: espacios con la propiedad UMD.

4) Desigualdad de Hausdorff-Young: Interpolación. Desigualdad de Hausdorff-Young. Caso vectorial: espacios de tipo Fourier.

5) Complementos: Unicidad de series trigonométricas. Transformada de Hilbert en la recta.

Objetivos pedagógicos.

El objetivo principal es extender algunos resultados clásicos de las series de Fourier al contexto de funciones con valores en espacios de Banach. Además de conocer los fundamentos  de esta materia, los alumnos comprobarán en este campo la utilidad de resultados diversos de Análisis Funcional, Variable Compleja e Integración.

Bibliografía relevante recomendada:

[1] Bourgain, J.,  Vector valued Hausdorff-Young inequalities and applications, Lecture Notes in Math. 1317(1988), 239-349.

[2] Burkholder, D.L., Martingales and singular integrals in Banach spaces, en Handbook of the geometry of Banach spaces, Vol. I, North-Holland, 2001.

[3] Diestel, J. y Uhl, J. Vector measures, Math. Surveys 15, Amer. Math. Soc., 1977.

[4] Douandikoetxea, J.,  Análisis de Fourier, Addison-Wesley, 1995. 

[5] Edwards, R. E.,  Fourier series: a modern introduction, Springer-Verlag, 1982.

[6] Katznelson, Y.,  An introduction to harmonic analysis, John Wiley \& Sons,  1968.

[7] Zygmund, A., Trigonometric series, Cambridge Univ. Press, 1968.

Metodología.

El curso tiene una duración de 30 horas que se impartirán a razón de hora y media semanal durante veinte semanas. Los temas serán explicados por el profesor, el cual planteará como ejercicios algunos resultados, enseñando a  los alumnos a buscar la bibliografía adecuada para su solución. Se prevé también que los alumnos asistan a charlas de algún especialista en temas del programa.

Criterios de evaluación.

7) Análisis en espacios métricos (3 créditos) 

Programa resumido.

1. Nociones básicas: Espacios métricos, medidas Doblantes, espacios de tipo homogéneos. Ejemplos: grupo de Heisenberg, fractales. Espacios regulares de tipo Ahlfors. Curvas rectificables

2. Oscilación media de una función y funciones de Lipschitz. Teorema de Campanato-Morrey.

3. Lemas de recubrimiento. Funciones maximales.

4. Espacios de Sobolev. Fórmulas de representación Integral.

5. Teoría Ap de pesos de Muckenhoupt. Propiedades de automejora. Teoría de Calderón-Zygmund.

6. Función maximal ``sharp" de C. Fefferman y Stein. Desigualdades de las buenas ``lambda".

7. Espacios con Oscilación media controlada. Propiedades de automejora.

8. Espacios de BMO y teorema de John-Nirenberg: automejora exponencial.

9. Truncamientos de funciones y espacios de funciones dondese matienen tales truncamientos. Las desigualdades ``débiles" implican las ``fuertes" en estos espacios. Teorema de Poincaré-Sobolev.

10. Desigualdades de Trudinger. Automejora super-exponencial.

Objetivos pedagógicos.

En los últimos años ha habido un gran progreso en el desarrollo del  Análisis Matemático en contextos donde tradicionalmente la estructura suave inherente (espacios euclídeos, variedades) jugaba un papel crucial. Parte importante de este progreso ha consistido en poder incluir objetos que se asemejen en muchos aspectos importantes a la derivada habitual. De forma imprecisa, este avance se debe a que se ha dado el salto en conceptos de naturaleza infinitesimal a conceptos de naturaleza global. Objeto de especial interés y donde este principio se puede apreciar claramente es el de los espacios de Sobolev, que desde su  introducción se han estudiado intensamente. Recientemente han habido intentos de generalizar estos espacios de Sobolev al contexto de espacios métricos con un cierto tipo de medidas.  El propósito de este curso es el de iniciar al alumno en algunos aspectos de este área de investigación que es de gran actualidad. El contexto más natural en el que se puede desarrollar tal teoría es el de Espacios Métricos con una medida doblante, aunque también se puede considerar cuasi-métricos. Dentro de este contexto general se introducirán conceptos como el de gradiente superior o el de oscilación media, lo que nos permitirá medir la ``suavidad'' de las funciones sin necesidad de hablar del concepto de derivada en el sentido clásico.  Un papel importante a lo largo del curso lo jugarán las fórmulas de representación integral, que tienen su origen en Sobolev y veremos que son equivalentes a formular desigualdades de Poincaré. Trataremos primero estos conceptos en el contexto euclídeo donde se enfatizarán principios factibles de extender a los espacios métricos. A continuación se estudiarán las desigualdades de Poincaré y sus versiones óptimas de Poincaré-Sobolev. Como aportación novedosa en la teoría, se mostrará cómo usar métodos de Variable Real (básicamente provenientes de la Teoría de Calderón-Zygmund) para obtener resultados de automejora (de tipo Lp) de funciones que tengan su oscilación media controlada de forma razonable evitando por completo las fórmulas de representación. También veremos su relación con teoremas clásicos como el de John-Nirenberg o el de Trudinger sobre automejora de tipo exponencial.

Bibliografía básica:

[1] P. Hajlasz and P. Koskela, Sobolev meets Poincaré, Mem. Amer. Math. Soc. 688 (2000).

[2] J. Heinonen, Lectures on Analysis on Metric spaces, Springer, Universitext (2001).

[3] P. Hajlasz, Sobolev spaces: Theory and applications, Lecture notes, Summer School, Jyvaskyla, (1998).

[4] M. Gromov with appendices by M. Katz, P. Pansu and S.Semmes, Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian spaces, Birkhauser, 1998.

[5] L. Saloff-Coste,  Aspects of Sobolev-Type Inequalities, Cambidge University Texts,  London Mathematical Society Lecture Notes Series, 2001.

Bibliografía complementaria:

[1] P. Hajlasz y P. Koskela, Sobolev met Poincaré, C. R. Acad. Sci. Paris, 320 (1995), 1211--1215.

[2] B. Franchi, C. Pérez y R. L. Wheeden, Self-- Improving Properties of John--Nirenberg and Poincaré Inequalities on Spaces of Homogeneous Type, Journal of Functional Analysis (1) 153 (1998), 108--146.

[3] P. MacManus y C. Pérez, Generalized Poincaré inequalities: Sharp self--improving properties, International Mathematics Research Notices,  2 1998, 101-- 116.

[4] P. MacManus y C. Pérez, Trudinger's inequality without derivatives, Trans. Amer. Math. Soc.  354 (2002), 1997-2012.

[5] G. Lu y C. Pérez,   L^1 --- L^q Poincaré inequalities for q<1 implies representation formulas, Acta Mathematica Sinica English Series, Series 18 (2002) 1, 1-20.

[6] S. Keith,  A differentiable structure for metric spaces, Advances in Mathematics (por aparecer) (2003).

[7] S. Keith y X. Zhong, The Poincaré inequality is an open ended condition, preprint (2003).

Metodología.

La clases tienen por objeto mostrar los resultados fundamentales correspondientes a Análisis sobre espacios métricos en una exposición clara, selectiva y enfocada a conducir al alumno a los problemas abiertos de mayor actualidad sobre la materia presentada Dado que estos cursos se imparten a grupos muy reducidos será posible un seguimiento personalizado de los alumnos. En particular se les adjudicarán distintos proyectos de trabajo, con ello se pretende que los alumnos adquieran una verdadera comprensión de los conceptos teóricos a la vez que les sirva como iniciación a la investigación.

Criterios evaluación:

La nota final del alumno dependerá del trabajo realizado, de los ejercicios  entregados y de la participación/actitud en clase.

8) Fundamentos del Análisis Funcional no lineal (4 créditos)

Programa resumido.

Los problemas científicos, generados por la evolución tecnológica, requieren cada vez más los esfuerzos conjuntos de investigadores de diferentes disciplinas. Un tema unificador, subyacente en estos esfuerzos, es la aplicación del análisis matemático, especialmente del análisis no lineal, puesto que los modelos que gobiernan los fenómenos complejos físicos, económicos, sociológicos, biológicos, ecológicos y tecnológicos son esencialmente no lineales. Por otra parte, el desarrollo del análisis no lineal exige una fundamentación teórica, basada en muchos casos en el análisis funcional. Esta fundamentación es habitualmente denominada Análisis Funcional No Lineal y en ella se encuadran los contenidos de este curso, que, a continuación listamos:

1. Principio de la Aplicación Contractiva. Aplicaciones a ecuaciones diferenciales e integrales.

2. Teorema del Punto Fijo de Brouwer. Teorema del Punto Fijo de Schauder. Aplicaciones.

3. Complementos del cálculo diferencial en espacios de Banach.

4. Principios del cálculo variacional. Problemas de extremos libres y problemas isoperimétricos.

5. Teoría Métrica del Punto Fijo: Una introducción

Objetivos pedagógicos.

Familiarizar al alumno con la derivación en espacios funcionales y mostrarles como algunas de las “ clásicas" aplicaciones del Cálculo Infinitesimal pueden ser también obtenidas en el marco infinito-dimensional. Especialmente nos ocuparemos de la localización de extremos absolutos y relativos de funcionales, conocido usualmente como Cálculo de Variaciones, enlazando de esta manera con interesantes problemas geométricos y físicos y con los principios fundamentales de la  Mecánica. Introducir los teoremas de punto fijo topológicos, poderosas herramientas para probar la existencia de solución de diversos tipos de ecuaciones diferenciales, integrales y funcionales. Se mostrará la efectividad de estos teoremas para garantizar resultados de existencia de las anteriores ecuaciones. Aunque los alumnos deben conocer previamente el Teorema de la Aplicación Contractiva, se mostrará una versión abstracta del mismo, resaltando su simplicidad y potencia. Se repasarán ejemplos de aplicación de este teorema y se mostrarán algunos más técnicos. Como generalización de las aplicaciones contractivas se introducirán los operadores no-expansivos y se discutirán los problemas que se plantean para asegurar la existencia de punto fijo de tales operadores. Se aplicará esta teoría para probar la existencia de ceros de operadores acretivos, mostrando además la importancia de éstos para obtener diversos tipos de soluciones de algunas ecuaciones en derivadas parciales

Bibliografía recomendada.

[1] J:M. Ayerbe Toledano; T. Domínguez Benavides; G. López Acedo.  Measures of Noncompactness in Metric Fixed Point Theory: Operator Theory Advances and Applications, Birkhauser Verlag, 1997.

[2] M.A. Khamsi; W. A. Kirk. An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory: Wiley- Interscience 2001

[3] W.A. Kirk; B. Sims (editors) Handbook of Metric fixed Point Theory: Kluwer 2001

[4] E. Llorens Fuster.  Análisis Funcional No Lineal: Una Introducción Valencia 1999.

[5] E. Zeidler.  Nonlinear Functional Analysis and Applications I,III: Springer Verlag 1991

Metodología.

Puesto que estos cursos se imparten  a grupos muy reducidos de alumnos, es posible utilizar métodos didácticos no habituales en los estudios de Licenciatura. Deberemos explicar los resultado más técnicos y guiar a los alumnos para que puedan obtener, por ellos mismos, otros resultados complementarios. En este sentido, el Profesor debe pretender ayudar a los alumnos para que inicien su capacidad autoformativa y para que comprendan la interrelación existente entre diferentes áreas o diferentes temas de una misma área

Criterios de evaluación.

Al tratarse previsiblemente  de un número reducido de alumnos creemos que se podrá realizarse una evaluación continuada. Tomaremos como datos básicos para esta evaluación la participación de los alumnos en clase y los trabajos adicionales que realicen.

9)   Análisis numérico de EDP no lineales (4 créditos). 

Programa resumido:

Contenidos Teóricos:

1) EDP  lineales elípticas y parabólicas: Resumen del método de los Elementos Finitos (MEF) para  EDP  lineales elípticas. Implementación efectiva 2D y estimaciones de error. Ejemplo: El problema del potencial. Discretización en tiempo por métodos de Diferencias Finitas (MDF) para   EDP  lineales parabólicas. Implementación efectiva y estimaciones de error. Ejemplo: El problema del calor. (Tiempo estimado 6 horas)

2) EDP  no  lineales elípticas y parabólicas: El caso autoadjunto y el método de Gradiente Conjugado. Formulación mínimos cuadrados y el método de Newton. Métodos splitting en tiempo. Direcciones alternadas y esquemas en paralelo. (Tiempo estimado 12 horas)

Contenidos Prácticos:

1) Resolución de ecuaciones elípticas lineales con diferentes condiciones de contorno, mediante la realización de códigos para el MEF 2D.

2) Resolución de ecuaciones parabólicas lineales mediante la realización de un código 1D para la variable temporal y el uso del código 2D para el MEF desarrollado en el apartado anterior. Explotación del código, tanto para la aproximación del problema evolutivo como para el problema estacionario asociado.

3) Resolución de ecuaciones no lineales mediante un proceso de linealización y la aplicación de los códigos anteriormente desarrollados.

Objetivos  pedagógicos:

Comprensión analítica y numérica del MEF para ecuaciones de tipo elíptico básicas y de la combinación del

MDF y del MEF para ecuaciones de tipo parabólico también de carácter básico, tanto lineales como no lineales. Por parte del alumno se realizarán tres prácticas y una exposición explicativa final en clase de una de ellas

Bibliografía  más relevante  recomendada:

[1] Quarteroni-Sacco-Saleri: Numerical Mathematics, Springer, 1999.

[2] Pironneau-Luquin: Introduction au calcul scientifique, Masson, 1996.

[3] Ern-Guermond: Eléments finis: théorie, applications, mise en ouvre, Springer, 2000

Metodología.

Interacción análisis numérico y cálculo científico. Desarrollo de códigos específicos a partir de códigos básicos (facilitados por el profesorado). Comparación analitica y numérica de resultados. Explotación numérica de los códigos y exposición en clase de resultados (por parte de cada alumno). Realización por parte de cada alumno de un trabajo analítico de algún método concreto con ayuda de la bibliografía adecuada.

Criterios de evaluación utilizados en cada curso:

Promedio entre trabajos analíticos y programación numérica.

10) Análisis teórico de EDP no lineales (4 créditos)

         Programa resumido.

1) Introducción. Problemas de evolución para algunas EDP. Ejemplos significativos.

2) Métodos de compacidad. Algunas ecuaciones hiperbólicas no lineales. Las ecuaciones de

Navier-Strokes. Otros ejemplos.

3) Métodos de monotonía y de monotonía y compacidad. Aplicación a sistemas parabólicos e

hiperbólicos.

4) Otros métodos de resolución de EDP no lineales. Ejemplos y aplicaciones.

5) Introducción a la teoría de semigrupos de operadores. El teorema de Hille-Yosida-Philips.

6) Ecuaciones lineales no homogéneas. Soluciones generalizadas. Ecuaciones semilineales. Algunos casos particulares.

7) Resultados recientes y problemas abiertos.

Ojetivos pedagógicos:

Profundizar en el estudio teórico de EDPs. Dotar a los alumnos de algunos elementos y técnicas avanzados que permitan un estudio de problemas de evolución, asociados a modelos importantes de la Física.

Bibliografía más relevante:

[1] H. Brézis: Análisis funcional. Toría y aplicaciones. Alianza Editorial, Madrid 1984.

[2] T. Cazenave & A. Haraux: Introduction aux problèmes d´évolution semi-linéaires, Mathématiques et Applications 1, Ellipses, Paris 1990.

[3] R. Dautray & J. L. Lions: Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et techniques, tome 3, Masson, Paris 1985.

[4] R. Glowinsky & J.L. Lions: Exact and approximate controllability for distributed parameter systems, Acta Numerica (1995), 159-333.

[5] J. L. Lions: Contrôle Optimal de Systèmes Gouvernés par des Equations aux Dérivées Partielles, Dunod, Gauthier-Villars, Paris 1968.

[6] J.L. Lions: Quelques methods de resolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod, Gauthiers-Villars, Paris 1969.

[7] P. L. Lions: Mathematical topics in fluid mechanics, Vol. 1: incompressible models, Clarendon Press, Oxford 1966.

[8] A. Pazy: Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Springer-Verlag, New York, 1983.

[9] E. Zeidler: Nonlinear functional analysis and its applications, Vol. IV, Springer-Verlag, New York, 1988.

Metodología:

La que ya es habitual en los últimos cursos. Se pretende que los alumnos opten la importancia matemática de los resultados, de las técnicas introducidas y de las posibles aplicaciones. Las clases serán acompañadas y completadas con ejercicios propuestos a los alumnos que influirán en su evaluación.

Criterios de evaluación:

Se seguirán principalmente tres: (a) la participación activa en clase, con posible exposición de temas; (b) la resolución de ejercicios propuestos en clase y (c) eventualmente, una prueba final.

11) Comportamiento asintótico de EDP (3 créditos).

         Programa resumido.

1.Algunos problemas modelo y su origen. Problemas de perturbaciones singulares y homogeneización de E.D.P.

2.Teoría de los desarrollos asintóticos. Desarrollos interior y exterior.  Aplicaciones.

3.Métodos multiescala aplicados a la resolución de problemas de pertubaciones singulares.

4.Convergencia en dos escalas. Resolución de problemas de homogeneización periódica.

5.Problema de homogeneización no periódica. Método de la energía de Tartar. Aplicación al control en los coeficientes.

Objetivos pedagógicos.

Los podemos separar en objetivos generales y particulares: Como objetivo general, el curso pretende continuar la formación del alumno en la teoría de ecuaciones diferenciales y más concretamente en las ecuaciones en derivadas parciales, en este sentido, los temas que se tratan muestran el manejo de estimaciones a priori, estimaciones de Sobolev, resultados de regularidad, uso de la convergencia débil, etc. Los objetivos particulares son en primer lugar en familiarizar al alumno con las cuestiones mencionadas anteriormente. En este sentido se presentarán varios problemas modelo entre los que destacamos el estudio de capas límite, problemas de perturbaciones singulares y problemas de homogeneización tanto periódica como no periódica, así como sus aplicaciones. El otro objetivo importante del curso será mostrar varios de los métodos que se usan en la resolución de estos problemas. Así, se mostrarán desarrollos asintóticos formales y más tarde se verá como obtener estos desarrollos desde un punto de vista riguroso, principalmente a partir de los métodos multiescala. También se estudiará el método de la energía de Tartar. La presentación de estos métodos se hará de forma principalmente práctica mediante su aplicación a los diversos problemas modelo.

Bibliografía

G. Allaire, A. Braides, G. Buttazzo, A. Defranceschi, L. Gibianski. School on homogenization. Preprint S.I.S.S.A., Trieste, 1993.

H. Brézis. Analyse fonctionnelle. Masson, Paris, 1992.

A. Bensoussan, J.L. Lions, G. Papanicolau. Asymptotic analysis for periodic structures. North-Holland. Amsterdam, 1978.

A. Cherkaev, R. Kohn. Topics in the mathematical modelling  of composite materials. Progress in Nonlinear Diff. Eq. Appl. Birhäuser, Boston, 1997.

G. Duvaut. Mécanique des milieux continus. Masson, Paris, 1992.

J.L. Lions. Perturbations singulières dans les problèmes aux limites et en contrôle optimal. Springer, Berlin, 1973. Berlin, 1973.

J.L. Lions. Some methods in the mathematical analysis of sistems and their control. Science Press. Beijing, 1981.

J. Sánchez-Hubert, E. Sánchez-Palencia. Introduction aux méthodes asymptotiques et à l'homogénéisation. Masson, Paris, 1992.

Metodología

Consistirá principalmente en la impartición de clases magistrales, fundamentalmente con pizarra, aunque en algunos casos podremos usar transparencias o exposiciones con ordenador como apoyo. Como ya hemos comentado anteriormente, las clases tendrán un carácter  fundamentalmente práctico, ya que los contenidos de la asignatura se mostrarán a lo largo de su aplicación a casos modelo. Estas clases se verán complementadas con la realización por parte del alumno de trabajos en los cuales deberá aplicar los distintos métodos estudiados en el curso a algún ejemplo particular, lo que permitirá de una parte afianzar los conocimientos adquiridos y de otra lo ayudará a iniciarse como investigador.

Criterios de evaluación

Al tratarse de grupos de alumnos reducidos, los puntos que tendremos en cuenta a la hora de la evaluación serán la asistencia y participación en clase junto con la realización de los distintos trabajos que se elaboren a lo largo del curso.

12) Sistemas dinámicos infinito dimensionales (3 créditos)

          Programa resumido.

I: Sistemas dinámicos autónomos Conceptos y definiciones básicas: semiflujos y semigrupos de operadores no lineales, disipatividad, invarianza, conjuntos omega límites, atractor global. Condiciones suficientes para la existencia del atractor global. Propiedades generales y estructura del atractor. Cómo determina el atractor la dinámica asintótica del sistema. Carácter finito-dimensional del atractor. Dimensión de Hausdorff y fractal. Ejemplos de aplicación: sistemas de reacción-difusion, ecuaciones bidimensionales de Navier-Stokes, ecuación de ondas amortiguada, etc...

II: Sistemas dinámicos no-autónomos. Problemática y diversas opciones de tratamiento: teoría de flujos cruzados (skew-product flow), procesos de evolución asociados, teoría de secciones y núcleos, cociclos y teoría “pullback’’. Conceptos básicos: familias de conjuntos absorbentes y atrayentes en sentido pullback, concepto de atractor no-autónomo, propiedades del atractor no-autónomo. Aplicaciones: ecuación bidimensional de Navier-Stokes no-autónoma, sistemas diferenciales con retardos, sistemas dinámicos aleatorios.

Objetivos pedagógicos:

El principal objetivo de este curso es hacer comprender al alumno la potencia que tiene la teoría de sistemas dinámicos infinito-dimensionales para el tratamiento, de una forma unificada, de gran cantidad de modelos que aparecen en las ciencias experimentales. Del mismo modo, se pretende que el alumno se familiarice con los conceptos recientemente introducidos en el caso de sistemas no-autónomos, ya que la mayoría de los sistemas físicos lo son por naturaleza. El concepto de atractor (en ambas situaciones) va a jugar un papel fundamental para la descripción del comportamiento asintótico del sistema bajo estudio, por lo que el estudio de sus propiedades y estructura es otro de los objetivos fundamentales que se pretenden conseguir.

Bibliografía relevante:

[1] T. Caraballo, P.E. Kloeden, J.A. Langa, Atractores globales para sistemas diferenciales no autónomos, CUBO 5(2003), No. 2, 305-329.

[2] V.V. Chepyzhov, M.I. Vishik, Attractors for equations of mathematical physics. American Mathematical Society Colloquium Publications, 49. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002.

[3] J.K. Hale, Asymptotic behaviour of dissipative systems, Mathematical Surveys and Monographs Vol. 25, American Mathematical Society, Providence, RI, 1988.

[4] O. Ladyzhenskaya, Attractors for semigroups and evolution equations, Cambridge University Press, 1991.

[5] J.C. Robinson, Infinite-dimensional dynamical systems, Cambridge University Press, 2001.

[6] G.R. Sell, Y. You, Dynamics of evolutionary equations, Springer-Verlag, NY, 2002.

[7] M.I. Vishik, Asymptotic behaviour of solutions of evolutionary equations, Cambridge University Press, 1992.

[8] R. Temam, Infinite-dimensional dynamical systems nin Mechanics and Physics, Springer-Verlag, NY, 1997.

Metodología:

La metodología que se propone para la enseñanza-aprendizaje de este curso se basa fundamentalmente en la atención personalizada a cada uno de los alumnos que lo curse, atendiendo en la medida de lo posible a los intereses particulares de cada uno. Así, a grandes rasgos, el Profesor se encargará de motivar los contenidos del curso y de exponer los contenidos de carácter más teórico. Luego, haciendo uso de dichos resultados teóricos generales, los alumnos habrán de investigar distintos modelos de las aplicaciones (y que puedan resultar de más interés para cada alumno), bajo la supervisión y dirección del Profesor. Posteriormente, los alumnos expondrán los resultados que hayan obtenido en clases o seminarios complementarios.

Criterios de evaluación:

La evaluación del alumno será fruto del seguimiento personalizado que el Profesor va a realizar de cada uno de los alumnos (asistencia, participación en clase, realización de trabajos de aplicación, exposición de los trabajos, etc...)

13) Álgebras de Lie (4 créditos) 

Programa resumido.

1. Breve introducción histórica.

2. Primeras Definiciones.

3. Morfismos entre Álgebras de Lie.

4. Subálgebras e Ideales de un álgebra de Lie.

5. El Álgebra Derivada.

6. El Espacio Cociente.

7. La Representación Adjunta.

8. Tipos de Álgebras de Lie.

9. Álgebras de Lie Resolubles.

10. Álgebras de Lie Nilpotentes.

11. Álgebras de Lie Filiformes.

12. Clasificaciones de las Álgebras de Lie.

13. Los Invariantes $i$ y $j$ de las Álgebras de Lie Filiformes.

14. Álgebras de Lie Filiformes Derivadas.

15. Álgebras de Lie Filiformes $c$-graduadas.

16. Álgebras de Lie Nilpotentes de dimensión infinita.

17. Grupos de Lie asociados a Álgebras de Lie.

Objetivos pedagógicos.  

El curso que se presenta tiene un doble objetivo: en primer lugar, el de ser una continuación natural de los estudios que el alumno de  la Facultad de Matemáticas realiza en el segundo ciclo de su licenciatura sobre las variedades diferenciables homogéneas y los Grupos de Lie. En segundo lugar, se desea introducir al alumno en los aspectos más relevantes y específicos de la Teoría de Álgebras de Lie en general, y de las álgebras de Lie nilpotentes y filiformes, en particular. Para conseguir el primero de estos objetivos, se explican en el curso las definiciones y propiedades más importantes de la Teoría de álgebras de Lie.  Se dan los conceptos de álgebras, subálgebras e ideales de Lie, estudiándose sus principales propiedades, y se llega a la clasificación de las álgebras de Lie, realizándose un tratamiento más intensivo de las álgebras de Lie resolubles y de las nilpotentes. La segunda parte del curso es ya más especializada y tendente a conducir a los alumnos en la principal línea de investigación del Grupo, a saber: en el estudio de las álgebras de Lie nilpotentes y en el de las filiformes.  Referentes a las álgebras de Lie nilpotentes,  se continúa con el problema de su clasificación, en el caso de dimensión finita, y se tratan también las de dimensión infinita y de rango maximal. De las álgebras de Lie filiformes, principal tema de investigación del Grupo, se tratan en este curso diversos puntos, destinados a facilitar al alumno interesado en continuar su investigación por esta línea  los resultados más recientes y novedosos que puedan servirle de base para el inicio de su futura Tesis Doctoral. Así, se tratan, entre otros, los siguientes apartados:

1.- Problema de la clasificación de las álgebras de Lie filiformes.

2.- Ecuaciones algebraicas de la variedad de leyes de estas álgebras.

3.- Estudio algebraico-geométrico de las mismas.

4.- Estudio de los invariantes de estas álgebras.

5.- Estudio de las relaciones entre álgebras de Lie filiformes derivadas, álgebras de Lie  característicamente nilpotentes y álgebras de Lie c-graduadas.

6.- Estudio de los grupos de Lie asociados a álgebras de Lie nilpotentes y a filiformes.

Bibliografía recomendada.

[1] Y. Chow. General Theory of Lie algebras, Vol.1, Gordon and Breach, New York, 1978.

[2] M.Goze and Y.Khakimdjanov. Nilpotent Lie Algebras. Kluwer Academic Publisher. The Nederlands, 1996.

[3] J.E.Humphreys.  Introduction to Lie Algebras and representation theory. Springer-Verlag, New York, 1972.

[4] N.Jacobson.  Lie Algebras. Dover Publications, Inc. New York, 1979.

[5] V. S. Varadarajan, Lie Groups, Lie Algebras and Their Representations. Selected Monographies 17, Colleage Press, Beijing, 1998.

[6] M.Vergne. Cohomologie des algèbres de Lie nilpotentes. Application à l'etude de la variètè des algèbres de Lie nilpotentes,  Bull. Soc. Math. France, 98 (1970), p.81-116.

Metodología.

Tal como se ha indicado, este curso de 4 créditos, se impartirá en sesiones de dos horas semanales.  En el programa detallado que se le facilita a los alumnos el primer día de impartición, ya viene reflejada la Bibliografía que el alumno debe manejar para conseguir una adecuada comprensión de la materia  que se le va a explicar. Aparte lo anterior, también se le suministran al alumno unos apuntes resumidos de la materia, que le faciliten su estudio en las primeras sesiones.  Como herramienta metodológica fundamental, el profesor irá desgranando y explicando en la pizarra los sucesivos capítulos del curso, no sólo permitiendo, sino incluso facilitando y promoviendo la participación activa del alumno en las sesiones, tanto en forma de preguntas aclaratorias como animándole a exponer en voz alta sus reflexiones sobre la forma de introducir los conceptos o bien de probar los resultados que se le vayan explicando. Todo ello sin perjuicio, por supuesto, de la utilización de otras alternativas a esta técnica, tales como la utilización de nuevas tecnologías: transparencias, diapositivas u ordenador, en los momentos en que los conceptos a explicar se presten a ello. Con referencia al aspecto práctico del curso, también se le facilitan al alumno una serie de relaciones de ejercicios, que le vayan permitiendo conseguir una  adecuada comprensión de los conceptos teóricos de la misma. La mayor parte de estos ejercicios se resolverán en el transcurso de las clases, si bien y aunque en Tercer Ciclo no se contemplan las  horas de Tutoría individuales, no existe ningún problema por parte del profesor en indicarle al alumno tanto unas horas fijas a la semana para estos menesteres, como la posibilidad de reunirse con él en otro horario diferente, mediante cita previamente acordada.

Criterios de evaluación.

Para la aprobación por curso de este curso de doctorado será necesaria la participación presencial y activa  del alumno en al menos el 80% de las sesiones que se celebren. En caso de no cumplirse este requisito, se le realizará un examen escrito al alumno, en las dos semanas siguientes a la fecha de finalización del curso, que comprenderá tanto aspectos teóricos como prácticos de la asignatura. Para  conseguir  calificaciones  superiores al  aprobado,  el alumno  podrá  realizar, de forma voluntaria, algunas de las actividades que a continuación se citan, que serán calificadas y evaluadas de acuerdo con su dificultad y que le supondrán puntos a añadir a la calificación que su asistencia e intervenciones  haya  merecido. Estas actividades son:

 1.- Presentación de trabajos por escrito sobre algún tema relacionado con el contenido del curso, acordado conjuntamente por profesor y alumno.

 2.- Exposición en clase de alguna de las partes teóricas del curso.

 3.- Realización y exposición en clase al resto de compañeros de alguno de los problemas que aparecen en las hojas de ejercicios que previamente se entregan a los alumnos.

 4.- Presentación por escrito de una serie de problemas resueltos sobre la materia, diferentes de los que aparecen en las hojas anteriormente indicadas, que el alumno pueda obtener de textos relacionados con la materia.

 5.- Cualquier otra actividad propuesta por el alumno, a realizar a nivel      individual, que sea aceptada previamente por el profesor.

14)  Estructuras geométricas en variedades (4 créditos).

Programa resumido.

I. Variedades Riemannianas.

1. Métricas en una variedad.

2.  Conexiones afines. Conexión Riemanniana.

3.  Curvaturas: el tensor de curvatura, curvatura seccional, curvatura de Ricci, curvatura escalar.

4. Subvariedades Riemannianas. La primera forma fundamental. La segunda forma fundamental. Subvariedades umbilicales, minimales, totalmente geodésicas.

II:  Variedades complejas.

1. El espacio  Cⁿ. Complexificado de un espacio vectorial.

2. Variedad compleja. Funciones holomorfas. Aplicación holomorfa. Estructura casi-compleja canónica.

3. Métricas herméticas. Métricas de Kaehler.

4. Subvariedades.

5. Estructura compleja en un e.v. Estructura casi-compleja en M²ⁿ. Estructura casi-compleja integrable. Caso de M compleja.

6. Conexiones casi-complejas. Métricas herméticas y Kaehlerianas. Curvatura seccional holomorfa.

III: Variedades de Contacto.

1. Variedades casi-contacto.

2. Tensor de torsión en estas variedades.

3. Variedades de contacto.

4. Variedades K-contacto y Sasakianas.

5. Subvariedades de variedades Sasakianas.

6. CR-subvariedades. 

Objetivos pedagógicos.

En primer lugar este curso pretende ser una continuación natural de algunas materias que el alumno ha cursado en el segundo ciclo de la Licenciatura. Como cabe la posibilidad de que existan alumnos matriculados que procedan de otras Licenciaturas (como la de Física), ó que aún siendo de Matemáticas no hayan cursado las asignaturas optativas de “Cálculo en Variedades” (4º curso), “Geometría Riemanniana” y “Grupos de Lie” (5º curso), es conveniente tener la cautela de incluir una primera parte de introducción de aquellos conceptos que pueden no haber visto  (variedad Riemanniana por ejemplo),  de  modo que al mismo tiempo sirva de recordatorio a los que sí la cursaron. Esto podría ser la materia correspondiente al primer Capítulo. Los contenidos de los dos Capítulos siguientes corresponden a conceptos de una mayor especialización y que tratan de  llevar a los alumnos a familiarizarse con los métodos de trabajo que se siguen habitualmente en las labores de investigación de los profesores que trabajan en esta disciplina de Geometría Diferencial. En otras palabras: el alumno debe quedar en condiciones de abordar un trabajo de investigación tutelado por el profesor en las materias que se corresponden con el curso. Así por ejemplo, además de las clásicas consultas de libros, es conveniente comenzar a leer artículos de revistas de la especialidad, aprender a utilizar las herramientas de informática para localizar autores, artículos concretos etc.

 [1] W. M. BOOTHBY: An introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. Academic Press, NY 1975.

[2] M. P. Do CARMO: Geometria Riemanniana. Projeto Euclides, 10, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 1979.

[3] D.E. BLAIR: Contact Manifolds in Riemannian Geometry. Lecture Notes in Mathematics, No. 509. Springer-Verlag, Heidelberg, 1976.

[4] J. MORROW and K. KODAIRA: Complex Manifolds. Holt, Rinehart and Winston, New York, 1971.

[5] R. O. WELLS: Differential Analysis on Complex Manifolds. Springer-Verlag, New York, 1980.

Metodología.

En general el profesor expondrá en la pizarra los contenidos teóricos del programa, pero  también se promoverá que  lo hagan los alumnos, manteniendo siempre abierto el debate sobre lo expuesto, reflexionando en común sobre el método, el rigor y la claridad de las exposiciones. La ilustración con ejemplos y la resolución de ejercicios en clase será una buena ayuda para completar la evaluación del trabajo de los alumnos.

Criterios de evaluación

Se exigirá la participación presencial y activa del alumno en al menos un 80% de las clases, y de no ser así el alumno realizará un examen o elaborará un trabajo teórico-práctico en los días siguientes a la finalización del curso.

15) Invariantes algebraicos en homotopía propia. Aplicaciones a la clasificación de tipos de homotopía y a la teoría geométrica de grupos.       

Programa resumido.

Aplicaciones propias.

Finales de Freudenthal.

Invariantes homotópicos y (co)homológicos  propios.

Aplicaciones a la teoría geométrica de grupos y a las variedades abiertas.

Aproximaciones alternativas a la topología algebraica propia.

Objetivos pedagógicos.

El curso pretende ofrecer lo elementos básicos de la topología algebraica necesaria para tratar espacios no compactos. Se procurará hacer ver la necesidad de ampliar la topología algebraica clásica con un “control en el infinito”  con el fin de clasificar objetos geométricos no compactos como son las variedades abiertas y los poliedros localmente compactos. Naturalmente el ritmo del curso dependerá del conocimiento previo de la topología algebraica clásica. También el perfil de los alumnos será determinante a la hora de fijar la estructura y forma final del curso. La presencia de alumnos interesados en continuar sus estudios de doctorado en algún tema de homotopía propia aumentaría en algunos puntos el contenido del curso con el fin de proporcionar  a estos alumnos material complementario sobre el tema elegido.

Bibliografía recomendada.

[1] H.J. Baues, A. Quintero. “Infinite Homotopy Theory”. K-monographs, 7. Kluwer, 2001.

[2] A. Dold. “Lectures on Algebraic Topology”. Springer, 1975

[3] D.A. Edwards, H.M. Hastings.  “Cech  and  Steenrod  homotopy theories with applications to  Geometric  Topology”.  Lecture Notes in Math., 542. Springer, 1972.

[4] D.B.A. Epstein. “Ends”, págs 110-117 de “Topology of 3-manifolds and related topics” (M.K. Fort ed.). Prentice-Hall, 1962.

[5] R. Fritsch, R.A. Piccinini. “Cellular structures in Topology”. Cambridge Studies in Mathematics, 19. Cambridge University Press, 1990.

[6] R. Geoghegan. “Topological  Methods in Group Theory”. Libro en preparación.

[7] B. Hughes, A. Ranicki. “Ends of complexes”. Cambridge Tracts in Maths., 123. Cambridge University Press, 1996.

[8] A.T. Lundell, S. Weigram. “The topology of CW-complexes”. Van Nostrand, 1969.

[9] S. Mardesic, J. Segal. “Shape Theory”. North-Holland, 1982.

[10] W.S. Massey. “Homology and Cohomology Theories”. Marcel Dekker, 1978.

[11] E.H. Spanier. “Algebraic Topology”. Springer, 1982.

[12] R.M. Switzer. “Algebraic Topology”. Springer, 1975.

Metodología.

La exposición del contenido del curso dependerá, como ya se ha indicado, de las características de los alumnos matriculados. En cualquier caso, el profesor siempre introducirá los temas propuestos. El trabajo personal del alumno consistirá en el desarrollo de los mismos para lo que dispondrá de las referencias proporcionadas por la bibliografía  recomendada. La intensidad y alcance de este trabajo dependerá de  la preparación y el interés académico del alumno.

Criterios de evaluación.

Ésta se hará de acuerdo con las intervenciones del alumno, algunas improvisadas a petición del profesor pero la mayor parte programadas al iniciarse del curso.  En caso de que el alumno haya desarrollado algún tema adicional por su interés personal en la materia, se tendrá en cuenta también este trabajo voluntario fuera del programa del curso.

16) Bifurcación de sistemas dinámicos: Métodos y aplicaciones (3 créditos).

Programa resumido.

1. Teoría geométrica de los sistemas dinámicos. Técnicas analíticas y numéricas para el estudio del espacio de órbitas.

2. Teoría local de bifurcaciones. Teorema de la variedad de centros. Formas normales. Bifurcaciones de codimensión uno.

3. Métodos numéricos para el estudio de bifurcaciones. Caso de bifurcaciones estáticas en sistemas finito–dimensionales. Caso de bifurcaciones dinámicas.

4. El método de continuación. Diferentes realizaciones. Problemas numéricos asociados.

5. Comportamiento asintótico. Concepto de atractor.

6. Dinámica simbólica. Aplicación herradura de Smale.

7. Bifurcaciones globales. Órbitas homoclinas y heteroclinas. Teoremas de Sil'nikov.

8. Bifurcaciones de codimensión dos de los equilibrios.

Objetivos pedagógicos.

Analizar y estudiar la teoría de bifurcaciones locales y globales. Determinar las formas normales: desplegamiento de singularidades e isocronía. Conocer la estructura de las bifurcaciones de codimensión dos de los equlibrios.

Bibliografía recomendada:

[1] A. Andronov, E. Leontovich, I. Gordon, A. Maier [1970], Qualitative Theory of Second Order Dynamical Systems, John Wiley.

[2] A. Andronov, E. Leontovich, I. Gordon, A. Maier [1973], Theory of Bifurcations of Dynamical Systems on a Plane, Israel Program for Sci. Transl.

[3] V.I. Arnold [1983], Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag.

[4] V.I. Arnold et al. [1993], Dynamical Systems I-VI,  Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag.

[5] D.K. Arrowsmith, C.M. Place [1991], An Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press.

[6] J. Carr [1981], Applications of Centre Manifold Theory, Appl. Math. Sci. Series, vol. 35, Springer-Verlag.

[7] S.N. Chow, J. K. Hale [1982], Methods of Bifurcation Theory, Springer-Verlag.

[8] S.N. Chow, C. Li, D. Wang [1994], Normal Forms and Bifurcations of Planar Vector Fields, Cambridge University-Press.

[9] F. Dumortier [1978], Singularities of Vector Fields, Monografías de Matemática 32, IMPA.

[10] F. Dumortier, R. Roussarie, J. Sotomayor, H. Zoladek [1991], Bifurcations of Planar Vector Fields, Lecture Notes in Math., vol. 1480, Springer-Verlag.

[11] M. Golubitsky, D.G. Schaeffer [1985a], Singularities and Groups in Bifurcation Theory, Vol. I, Appl. Math. Sci. Series, vol. 51, Springer-Verlag.

[12] M. Golubitsky, I. Stewart, D.G. Schaeffer [1985b], Singularities and Groups in Bifurcation Theory, Vol. II, Appl. Math. Sci. Series, vol. 69, Springer-Verlag.

[13] J. Guckenheimer, P. Holmes [1983], Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Appl. Math. Sci. Series, vol. 42, (5ª edición, 1997) Springer-Verlag.

[14] P. Hartman [1964], Ordinary Differential Equations, Wiley.

[15] B.D. Hassard, N.D. Kazarinoff, Y-H. Wan [1981], Theory and Applications of Hopf Bifurcation, Cambridge University Press.

[16] M.W. Hirsch, S. Smale [1983], Ecuaciones Difenciales, Sistemas Dinámicos y Álgebra Lineal, Alianza Editorial.

[17] D.W. Jordan, P. Smith [1977], Nonlinear Ordinary Differential Equations, Oxford University Press.

[18] Y.A. Kuznetsov [1998], Elements of Applied Bifurcation Theory, Appl. Math. Sci. Series, vol.  112, 2ª edición, Springer-Verlag.

[19] J.E. Marsden, M. McCracken [1976], The Hopf Bifurcation and Its Applications, Appl. Math. Sci. Series, vol. 19, Springer-Velag.

[20] K.R. Meyer, G.R. Hall [1992], Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the N-body Problem, Springer-Verlag (1992).

[21] L.M. Perko [1991], Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag.

[22] A. Vanderbauwhede [1989], Centre Manifolds, Normal Forms and Elementary Bifurcations, Dynamics Reported, vol.2, John Wiley & Sons, pág. 89--169.

[23] S. Wiggins [1988], Global Bifurcations and Chaos. Analytical Methods, Applied Mathematical Series,  vol.  73.

Metodología .

Atención personalizada a los alumnos que lo cursen. Las clases magistrales se alternarán con clases prácticas y sesiones de discusión de problemas propuestos.

Criterios de evaluación.

Cada alumno deberá exponer en clase alguno de los ejercicios propuestos para cada uno de los temas. Además, se valorará la asistencia y participación en clase.

17)  Iteración de funciones analíticas (3 créditos).

Programa resumido.

1.  Algunos ejemplos: El método de Newton. Iteración de polinomios. El caso de las transformaciones de Moebius.

2. Conceptos generales y prerrequisitos: Clasificación de las superficies simplemente conexas. Familias normales. La métrica de Poincaré.

3. Iteración racional compleja: Conjuntos de Fatou y Julia. Ciclos y puntos periódicos.

4. Componentes del conjunto de Fatou: El teorema de las componentes no-errantes.

5. Iteración en el campo complejo: Conjuntos de Fatou y Julia. Comparación con el caso racional.

6. Introducción a la Geometría hiperbólica: La métrica hiperbólica. Ortogonalidad, longitud y geodésicas.

7. Iteración en el disco unidad: El teorema de Denjoy-Wolff. El teorema del modelo fraccional.

8. Iteración fraccional en el disco unidad: Semigrupos de funciones analíticas. Ecuaciones diferenciales asociadas.

Objetivos pedagógicos.

Introducir la iteración de funciones analíticas en los tres dominios clásicos: la esfera de Riemann, el plano complejo y el disco unidad. Estudiar ejemplos de áreas de la Ciencia donde aparecen este tipo de iteraciones.

Bibliografía recomendada.

[1] C. Pommerenke, Boundary behaviour of conformal maps. Springer-Verlag, 1991.

[2] J. Milnor, Dynamics in one complex variable. Introductory lectures. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1999.

Metodología.

El curso está dividido en ocho temas y la idea, a priori, es que cada uno de ellos se exponga en unas tres horas. El resto del tiempo se dedicará a la exposición por parte de los alumnos de diversos ejercicios propuestos. En la medida de lo posible, ciertas clases se dedicarán a la experimentación gráfica de iteraciones usando diversos programas de ordenador de fácil manejo.

Criterios de evaluación.

Cada alumno deberá exponer en clase alguno de los ejercicios propuestos para cada uno de los temas. Además, se valorará la asistencia y participación en clase.

Relación de los profesores participantes en el programa de doctorado Matemáticas.    Curso 2004-05.

         Además de los profesores de la lista anterior, los profesores que se indican a continuación han sido invitados a   participar en el programa de doctorado Matemáticas, impartiendo 2 créditos de los cursos que aparecen entre paréntesis.

Prof. Ángel Luis Cordero Rego (CU, Universidad de Santiago de Compostela) (Álgebras de Lie).

Prof. Alfonso Romero Sanabria (CU, Universidad de Granada) (Estructuras geométricas en variedades).

Andrews Tonks () (Invariantes algebraicos en homotopía propia. Aplicaciones a la clasificación de  tipos de homotopía y a la teoría geométrica de grupos).

Vicente Navarro Aznar (CU, Universidad de Barcelona) (Geometría Algebraica).

BECAS MOVILIDAD PARA ALUMNOS INSCRITOS EN EL PROGRAMA

PROGRAMA DE DOCTORADO

“MATEMÁTICAS”

CURSO ACADÉMICO 2004 - 2005

CONVOCATORIA DE BECAS

12 BECAS

PARA LA FINANCIACIÓN PARCIAL DE LOS GASTOS DE MATRÍCULA EN EL PROGRAMA.

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5 BECAS

DE MOVILIDAD DE ALUMNOS  DEL PROGRAMA.

El Programa de Doctorado “Matemáticas” ha sido distinguido con la Mención de Calidad por el Ministerio de Educación y Ciencia en la convocatoria del  curso académico 2004/ 2005

Más información en la Secretaría del Departamento de Álgebra.