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19/99
jueves 16 de Diciembre, 17 h
Sala de Juntas

Resumen:

Nous étudions en ce moment, avec notamment Briançon et Merle à Nice, les équations fonctionnelles du type =

Resumen:El índice de nilpotencia de un ideal polinomial I es el menor entero positivo e tal que (ÖI)^eÍ I. Aunque la existencia del índice de nilpotencia está siempre asegurada, el cálculo efectivo de este invariante no es en absoluto sencillo. De hecho, en general, sólamente existen estimaciones del mismo. Así, por ejemplo, G.Hermann en 1926 obtiene cotas doblemente exponenciales usando teoría de eliminación, y más recientemente W.D.Brownawell, J.Kollár y N.Fitchas y A.Galligo han obtenido cotas simplemente exponenciales.

El índice de nilpotencia está estrechamente relacionado con la efectividad del Nullstellensatz de Hilbert, que, como es sabido, garantiza la existencia de polinomios g₁, ¼, g_t (sobre un cuerpo algebraicamente cerrado) tales que åf_ig_i = 1, donde f₁, ¼, f_t son polinomios que no tienen ningún cero en común. Sin embargo, las pruebas habituales de este resultado, no proporcionan información sobre los g_i; por ejemplo, no dan una cota para sus grados. Aquí es donde el índice de nilpotencia, o al menos una cota de éste, juega un papel crucial.

Centrándonos en el caso particular de los ideales binomiales, obtenemos cotas para el índice de nilpotencia que tanto experimental como teóricamente han resultado más razonables que las ya conocidas.

Resumen: Sea X un campo de vectores holomorfo sobre una vecindad U del punto 0 en C ² tal que X(x) ¹ 0 si x ¹ 0. Se dice que X tiene una integral primera holomorfa, meromorfa, R ⁺-logaritmica si existe una function f tal que df(X) = 0 que es respectivamente holomorfa, meromorfa, R⁺-logaritmica. En los años 70, R. Thom propuso conjecturas sobre criterios topológicos de existencia de tales integrales. Ahora se tiene respuestas a estas preguntas. Por ejemplo X tiene una integral primera holomorfa si y solamente si las curvas integrales de X son cerradas en U\{ 0} y un numero finito de ellas se acumulan sobre 0.

Resumen: En el proceso de resolver una singularidad de superficie tenemos todavía problemas de efectividad. Por ejemplo,
querríamos tener un cota sobre el número de explosiones y normalizaciones que se necesitan para resolver o el número de las
transformaciones normalizadas de Nash para llegar a una resolución. De una manera general queremos tener una idea de la
complejidad de la resolución. En la conferencia vamos a repasar diferentes manera de resolver una singularidad de superficie y a
medir la complejidad de la resolución.

Resumen: Usando la red de polares relativas a una foliación sobre el plano proyectivo se muestra como se puede determinar la
posición especial del subesquema singular de la foliación. Como consecuencia se prueba que si el grado de la foliación es
diferente de 1, el subesquema singular determina la foliación. También se caracterizan los subesquemas 0-dimensionales que
son lugar singular de alguna foliación.
 

Resumen: Mediante técnicas combinatorias, describimos un método algorítmico para calcular un conjunto minimal de generadores
del primer módulo de sicigias asociado a una variedad tórica.

Aunque existe un método alternativo usando Bases de Gröbner (Teorema de Scheryer), nuestro punto de vista es interesante porque
permite explicitar una cota del grado de las primeras sicigias minimales.

Nuestra cota está en función de los generadores del semigrupo que parametrizan la variedad.

Resumen: Hablará sobre las componentes arquimedeanas, extensiones de ideales de semigrupos, la envolvente de traslaciones
de un semigrupo débilmente reductivo, semigrupos separativos, construcción de Tamura para los N-semigrupos, multiple-joint
semigrupos, N-semigrupos generalizados, ideales radicales y primos.

Resumen: The talks will be concerned with the ring theoretic and topological properties of the ring of functions on a Zariski open
subset of a complex analytic space.

There are several important problems in analytic geometry which can be expressed in terms of such rings, and modules over
them. Among these is the comparison theorem between algebraic and analytic de Rham cohomology, the Riemann Existence
theorem, extension theorems for coherent analytic sheaves and sections of coherent analytic sheaves.

These theorems are all proved by (an often difficult) reduction to a case where one can compute everything explicitly. However it is
our hope that a sufficiently rich theory of the above rings would allow direct proofs.

I will present the beginnings of such a theory, and explain how it yields a new proof of a theorem of Siu-Trautmann on vanishing of
local cohomology of coherent analytic sheaves.

                                                         La geometría de la multiplicidad de ideales
                                                                       Lê D~ung Tráng
                                                            Université de Provence, Marseille

Resumen: Sea I un ideal de un anillo local noetheriano primario respecto del ideal maximal. Dicho ideal define una función de Hilbert.
La multiplicidad del ideal describe el comportaminento asintótico de la función de Hilbert. Trabajos de Ramanujam y Nagata permiten una interpretación geométrica de la multiplicidad. El cálculo es efectivo en dimensión 2.

                                              A combinatorial structure on the toric Hilbert scheme
                                                                   Diane Maclagan
                                      Department of Mathematics, University of California, Berkeley

Resumen: The toric Hilbert scheme, PA, parameterizes all A-graded ideals for A = {a1,...,an}. These are all ideals with Hilbert function 1 in every degree, when graded by deg(xi) = ai. After elaborating on these notions I will discuss joint work with Rekha Thomas (Texas A&M) which puts a combinatorial structure on certain points in this scheme, and explain consequences for connectedness of the scheme, and connections to the Baues problem.

(A-graded ideals are closely related to toric/semigroup ideals. They are introduced in Chapter 10 of Sturmfels, ``Groebner bases and convex polytopes".)

                                                              Introducción a los polinomios ortogonales
                                                                   Antonio J. Durán Guardeño
                                                              (Departamento de Análisis Matemático)

Resumen: En la charla se mostrará una introducción a la teoría de polinomios ortogonales: se analizarán las distintas equivalencias de la ortogonalidad con respecto a una medida (ortogonalidad, momentos y fórmula de tres términos) y los distintos problemas a los que da origen; también se tratarán algunos aspectos algebraicos básicos de la teoría; por último se ilustrará con algunos ejemplos y aplicaciones.

Resumen: Sea M una superficie compacta, orientada, con o sin borde. Sea también P = {p1,...,pm} un conjunto finito de puntos
en el interior de M. Notemos H(M,P) el grupo de homeomorfismos h:M® M que preservan la orientación, fijan el borde de M punto
por punto, y permutan los elementos de P. Se dice que dos homeomorfismos h,h¢ Î H(M,P) son isótopos si existe una familia
continua ht Î H(M,p), t Î [0,1] tal que h0 = h y h1 = h¢. El grupo de homeotopías de M relativamente a P, mejor conocido bajo el
nombre mapping class group, es el grupo M(M,P) = p0(H(M,P)) de clases de isotopía en H(M,P).

Sea G un grupo (infinito). Una representación de G es un homomorfismo p:G® U(V) donde U(V) es el grupo unitario de un
espacio de Hilbert separable V. Se dice que p es irreducible si no existe un subespacio cerrado V¢ Ì V invariante bajo la acción
de G y tal que V¢ ¹ {0} y V¢ ¹ V.

El objeto de esta conferencia es mostrar como construir representaciones irreducibles de los grupos de homeotopías a partir de
acciones de estos mismos grupos sobre ciertos complejos simpliciales llamados complejos de curvas.

                                                      Slopes in submodules of a free module
                                                              Jose María Ucha Enríquez
                                                                (Hispalensis University)
 

Resumen: A polynomial P of n complex variables defines a map from Cn to C which is a fibre bundle over the complememnt to a
finite subset of the target C. The topology of this fibre bundle (say, that of its fibre = the generic level set of P) and the monodromy
transformations corresponding to loops in the base space are of interest in algebraic geometry and singularity theory. A
polynomial defines a meromorphic function on the corresponding projective space CPn. In order to understand the behaviour of a
polynomial at infinity one should consider germs of the corresponding meromorphic function at points of the infinite hyperplane. It
appears, that using certain topological invariants of meromorphic germs one can reduce some (global) problems about the
behaviour of a polynomial at infinity (say, calculation of the zeta-function of its monodromy transformation at infinity) to local
problems. This gives an effective method for computing some invariants of polynomial maps.

Resumen: La definición del polinomio de Bernstein surge en 1972. La demostración de su existencia, debida al propio I. N.
Bernstein, no era constructiva; por lo que quedaba abierto el cálculo efectivo de éste. Diversos autores han abordado el problema:
Briançon, Granger, Maisonoble y Miniconi resolvieron el problema para un polinomio casi-homogéneo con singularidad aislada.

En 1997 T. Oaku dió en ``An algorithm of computing b-functions" un algoritmo que resolvía el problema en su totalidad.
Inspirándonos en este artículo y en ``Homogenising differential operators" de F.J. Castro y L. Narváez hacemos una variante del
citado algoritmo.

Resumen: La teoría de grupos automáticos, introducida en su forma actual hace menos de 15 años, se ha convertido en una
referencia obligada para todos los que, por una u otra razón, trabajen con grupos. En palabras de Epstein, ``Una estructura
automática determina unívocamente al grupo, y debemos considerarla como una presentación particularmente buena [... ].''

En esta charla trataremos de exponer los principales ingredientes de esta teoría, así como de acompañarlos de diversos
ejemplos ilustrativos.

Resumen: Dados dos módulos sobre Z[X] o k[X1, ..., Xn], con k cuerpo, no se conoce si existe un procedimiento algorítmico para
decidir si son isomorfos.

Este problema surge en particular al definir invariantes en topología algebraica, como ocurre en teoría de nudos. Hemos
construído una tabla con los módulos de nudos de hasta diez cruces.

En 1947, E. Snapper construye unos invariantes asociados a una descomposición primaria de un módulo. Planteó la pregunta de
si dichos invariantes determinan al módulo por isomorfismo. Damos ejemplos sobre Z[X] y Q[X,Y,Z] que responden negativamente
dicha cuestión.

El problema de la comparación de módulos se reduce a la equivalencia de matrices. Damos una reducción de este problema a la
equivalencia por matrices elementales.
 
 

Resumen: El grupo de trenzas de una superficie M puede verse como una generalización del grupo fundamental de M,
aumentando el número de puntos base, y añadiendo condiciones suplementarias. El más conocido y estudiado es el grupo de
trenzas de  R2, introducido por Artin, del que se conocen muchas propiedades y aplicaciones.

Esta sesión pretende ser una introducción a las trenzas: expondremos su definición, su representación geométrica y las
presentaciones de los grupos citados, incluyendo una nueva presentación en el caso en que M sea una superficie compacta y
conexa.