Resumen:
L'idée de la géométrie algébrique relative est de definir une théorie des schemas sur une
catégorie monoidale symétrique quelconque C. Cette notion generalise la notion de schémas
usuels obtenue quand nous prenons pour C la catégorie des groupes abéliens.
14/07
Viernes, 9 de noviembre de
Seminario del Departamento de Álgebra.
Formas diferenciales de nivel superior y Grupos
algebraicos
Adolfo Quirós Gracián
Universidad Autónoma de Madrid
Resumen:
Las potencias divididas parciales aparecen por primera vez en la teoría de D-módulos aritméticos de P. Berthelot. En trabajos conjuntos con B. Le Stum las hemos usado para definir complejos de de Rham de nivel superior mediante lo que llamamos la construcción de Berthelot-Lieberman. Esta misma construcción permite estudiar el complejo cotangente de nivel superior para esquemas en grupos y relacionarlo con las formas invariantes del mismo nivel.
Nuestro objetivo en la charla es dar algunos ejemplos de para qué pueden servir estos objetos y, en particular del interés de la torsión. Definiremos las formas diferenciales de nivel superior y explicaremos cómo se calcula con ellas. Para mostrar su utilidad:
- Trataremos con detalle algunos ejemplos relevantes, en particular la familia
de Legendre de curvas elípticas.
- Mostraremos la relación con la cohomología de de Rham de nivel superior en el
caso de variedades abelianas.
- Indicaremos cómo dar los primeros pasos hacia una "Teoría de Dieudonné
de nivel superio
13/07
Miércoles, 4 de julio de
Seminario del Departamento de Álgebra.
How ubiquitous are irreducible homogeneous free divisors in low dimension?
Aron
Simis
Universidad Federal de Pernambuco, Brasil
Resumen:
The question is really how often it happens that an irreducible homogeneous polynomial f in few variables is differentially perfect, that is, the ideal J generated by its partial derivatives is a perfect ideal. This question is a predecessor of the title question as reduced homogeneous free divisors are characterized as those whose ideal J of partial derivatives is a codimension 2 perfect ideal (i.e., R/J is a Cohen-Macaulay ring of embedding codimension 2). Related questions and examples will be discussed.
12/07
Viernes, 29 de junio de
Seminario del Departamento de Álgebra.
Characterization of algebraic
varieties by the category of their coherent sheaves
Michel Vaquié
CNRS - Université Paul Sabatier, Toulouse
Resumen: (joint work with Bertrand Toën)
Let X be an algebraic or
analytic variety. We consider the derived category of coherent sheaves on X and
a more precise object which is the dg-category of complexes of coherent sheaves
Lcoh(X), and we define a finiteness condition: a saturated dg
category.
We have the following: let
X be a compact smooth analytic variety, then X is algebraizable if and only if
the dg-category Lcoh(X) is saturated.
11/07
Jueves, 28 de junio de
Seminario del Departamento de Álgebra.
Polinomios
clave y uniformización local en característica arbitraria.
Mark Spivakovsky
Universidad Paul Sabatier. Toulouse
Resumen: El tema de esta conferencia es la teoría de polinomios clave de una
extensión simple K® K[x] de cuerpos valorados,
desarrollada en un trabajo reciente con M.A. Olalla y J.Herrera (e
independientemente por M. Vaquié). Más concretamente, intentaré demostrar que
los polinomios clave y sus derivadas proporcionan un lenguaje ideal para probar
el teorema de uniformización local en característica arbitraria.
10/07
Jueves, 17 de mayo de
Seminario del Departamento de Álgebra.
Moduli de representaciones y fibrados de Higgs
Óscar
García Prada
CSIC Madrid
Resumen: Se explicará cómo la geometría holomorfa de los fibrados de Higgs permite abordar problemas básicos (por ejemplo, el calculo del numero de componentes conexas) del espacio de moduli de representaciones del grupo fundamental de una superficie de Riemann en un grupo de Lie semisimple.
09/07
Jueves, 29 de marzo de
Seminario del Departamento de Álgebra.
El
concepto de punto según Grothendieck
Juan
A. Navarro González
Universidad de Extremadura
Resumen: La comprensión de los puntos de un espacio X como morfismos T® X nos lleva a entender geométricamente
cualquier categoría, y los teoremas de representabilidad permiten resolver
problemas de construcción. Veremos lo elemental que es el teorema de
representabilidad que dio Grothendieck en 1960 y cómo puede aplicarse a varias
cuestiones, fundamentalmente a teoremas de dualidad. Además se situará
sucintamente esta comprensión del concepto de punto dentro de la vida de
Grothendieck.
08/07
Martes, 20 de marzo de
Seminario del Departamento de Álgebra.
Esquemas
de Álgebras y sus Representaciones
Amelia
Álvarez Sánchez
Universidad de Extremadura
Resumen: En esta charla se desarrollarán los fundamentos de una teoría de esquemas
de álgebras y sus representaciones, que se aplica para fundamentar la teoría de
grupos algebraicos y sus representaciones lineales.
Consideramos las variedades algebraicas como funtores sobre la categoría de k-álgebras conmutativas vía su funtor de puntos, y dado un k-módulo E vía el funtor E (llamado k-módulo cuasi-coherente) que asigna E ÄA a cada k-álgebra conmutativa A. Al dual de E, E* se le denomina esquema de k-módulos.
Probamos el teorema de Reflexividad (funtorial) de los k-módulos cuasi-coherentes, E = E**. Dado un k-grupo afín G = Spec A, probamos que la categoría de G-módulos es equivalente a la de A*-módulos y que el cierre de esquemas de álgebras de la envolvente lineal, k[G], de G es A*.
Probamos que G es semisimple si y sólo si A* descompone en producto directo de k y otro esquema de álgebras, y utilizamos esta descomposición para obtener el operador de Reynolds y desarrollar la teoría de invariantes de los grupos algebraicos. Demostramos el carácter esencialmente algebraico del análisis armónico y la dualidad de Pontriaguin de los grupos topológicos.
07/07
Jueves, 1 de marzo de
Seminario del Departamento de Álgebra.
Cómo
los invariantes (co)homológicos detectan las singularidades
Guillermo
Cortiñas
Universidad de Valladolid
Resumen: Existen en la literatura numerosas conjeturas que afirman que la
nulidad de cierto grupo (o cierto subgrupo de un grupo) de (co)homología de un
anillo conmutativo implica que este anillo es regular. En la charla se recordarán
algunas de tales conjeturas, y se comentarán sus interrelaciones así como
algunos resultados positivos recientes.
06/07
Jueves, 22 de febrero de
Seminario del Departamento de Álgebra.
Divisores
lineales libres y representaciones de carcajes.
David
Mond
Universidad de Warwick
Resumen: Una construcción muy sencilla utilizando la teoría de representaciones
de carcajes produce un gran número de divisores libres D con la propiedad
adicional de que los campos vectoriales generadores de Der(-logD) son todos lineales. Caso especial es
el divisor a cruzamientos normales. Un famoso teorema de Gabriel caracterizando
los quivers de tipo de representación finito muestra que los diagramas de
Dynkin de tipo ADE juegan un papel especial aquí como en tantas otras partes de
la teoría de singularidades.
05/07
Lunes, 19 de febrero de
Seminario del Departamento de Álgebra.
Álgebra
de Hopf de permutaciones de bloques uniformes.
Rosa
Orellana
Dartmouth College (EE.UU.)
Resumen: En esta charla presentaré al álgebra de Hopf de permutaciones de
bloques uniformes y discutiré varias propiedades de esta álgebra, como por
ejemplo que es dual consigo misma, libre y co-libre. Estos resultados están
relacionados al hecho que permutaciones de bloques uniformes forman un monoide
invertible que es factorizable. Esta álgebra de Hopf contiene como subálgebras
a la álgebra de Hopf de Malvenuto y Reutenauer y al álgebra de Hopf de
funciones simétricas en variables no conmutativas de Gebhard, Rosas y Sagan. La
presentación va a ser elemental, con sabor combinatorio y no asumirá ningún
conocimiento previo sobre álgebras de Hopf.
Este es un trabajo conjunto con Marcelo Aguiar
04/07
Viernes, 9 de febrero de
Seminario del Departamento de Álgebra.
La
primera parte del algoritmo de Whitehead en tiempo polinomial.
Enric
Ventura Capell
Universidad Politécnica de Cataluña
Resumen: (Trabajo conjunto con P. Weil y A. Roig) El algoritmo de minimización
de Whitehead consiste en encontrar un elemento de tamaño mínimo en la órbita
(por automorfismos) de una palabra (o palabra cíclica o subgrupo finitamente
generado) en un grupo libre de rango finito. Damos el primer algoritmo
completamente polinomial para resolver este problema, es decir, un algoritmo
polinomial tanto en la longitud de la palabra input, como en el rango del grupo
ambiente. Existían algoritmos clásicos (desde Whitehead en los años 30) para
resolver este problema pero todos presentaban una complejidad exponencial
respecto al rango ambiente. Como consecuencia, el problema de la primitividad
(decidir si una palabra dada en un grupo libre es o no parte de una base) y el
problema del factor libre (decidir si un subgrupo dado de un grupo libre es
factor libre o no) son también resolubles en tiempo polinomial. El nuevo
algoritmo es muy sencillo, combinando un argumento clásico sobre grafos y
automorfismos de Whitehead, y el también clásico algoritmo Max-flow Min-cut
para flujos en redes.
03/07
Martes, 6 de febrero de
Seminario del Departamento de Álgebra.
Métodos de álgebra homotópica.
Francisco
Guillén Santos
Universidad de Barcelona
Resumen: El álgebra homotópica es una extensión a situaciones no aditivas del
álgebra homológica. A partir de los trabajos de Quillen, sus categorías de
modelos han sido el contexto preferido para el desarrollo del álgebra
homotópica. Sin embargo, el principal inconveniente de las categorías de
modelos es la rigidez de su axiomática, por lo cual se han necesitado algunas
variantes débiles para estudiar situaciones concretas en las que los axiomas de
las categorías de modelos de Quillen no se cumplen.
En un trabajo conjunto con Navarro, Pascual y Roig estamos desarrollando una aproximación distinta al álgebra homotópica que minimiza los requerimientos sobre la categoría y está más próxima al desarrollo inicial del álgebra homológica. El ingrediente básico es una categoría con dos clases de morfismos llamados equivalencias fuertes y débiles (análogo de las equivalencias homotópicas y los quasi-isomorfismos). En este contexto es posible dar una definición de objeto cofibrante por una propiedad de levantamiento de morfismos (análogo de los complejos proyectivos) y, admitiendo la existencia de suficientes objetos cofibrantes, desarrollar la teoría de homotopía en una forma similar como lo hacen Cartan-Eilenberg en el caso abeliano. Aplicamos estos resultados, junto con las categorías de descenso simplicial de Navarro-Rodríguez, para dar una variante no aditiva del teorema de los modelos acíclicos, definir la cohomología de haces con valores en una categoría de descenso simplicial y dar un teorema de localización en geometría algebraica.
02/07
Martes, 16 de enero de
Seminario del Departamento de Álgebra.
Sistemas
coherentes en curvas elípticas y la transformación de Fourier-Mukai.
Daniel
Hernández Ruipérez
Universidad de Salamanca
Resumen: Se calculan todas las transformaciones de Fourier-Mukai para sistemas
coherentes formados por un fibrado vectorial sobre una curva elíptica y un
subespacio del espacio de sus secciones globales; se demuestra que dichas
transformaciones están determinandas por un número entero positivo. Se prueba
que la condición natural de estabilidad para sistemas coherentes, que depende
de un parámetro, se conserva por transformaciones de Fourier-Mukai cuando el
parámetro es suficientemente grande. Usando las transformaciones de
Fourier-Mukai se demuestra que ciertos espacios de móduli de sistemas
coherentes que corresponden a valores pequeños y grandes del parámetro, son
isomorfos. Finalmente se estudian las implicaciones sobre el tipo birracional
de los espacios de móduli.
01/07
Jueves, 11 de enero de
Seminario del Departamento de Álgebra.
Los
ideales de De Concini y Procesi.
Mercedes
H. Rosas
Universidad de Sevilla
Resumen: Es posible asociar a cualquier matriz nilpotente la partición definida
por los tamaños de sus bloques de Jordan. Sea Cl la clase de
conjugación de las matrices nilpotentes con partición l.
En esta charla estudiaremos a la intersección esquemática de Cl con las matrices diagonales. El ideal resultante es de gran interes en la combinatoria algebraica y ha sido estudiado por De Concini, Procesi, Tanisaki, Eisenbud y Weyman, entre otros. En esta charla explicaremos su importancia.
Finalmente, describiremos un sencillo conjunto de generadores para este ideal, que es minimal en el caso de particiones de la forma (n-k, 1, ...1) en cuyo caso podemos utilizar construcciones de la teoría de ideales monomiales para conseguir una resolución minimal exacta del ideal.
Este es un trabajo conjunto con Riccardo Biagioli y Sara Faridi.