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Resumen: Se trata de un trabajo, en desarrollo, en colaboración con J.M. Ucha. El concepto de divisor casi-libre se basa en el de estructura casi-libre sobre un divisor introducido por J. Damon. El objetivo del trabajo es estudiar los D-módulos logarítmicos asociados a divisores casi-libres y su papel en el Teorema de Comparación Logarítmico.

Resumen: En el artículo "Logarithmic De Rham complexes and vanishing theorems" (Invent. Math., 1986), Esnault y Viehweg prueban que, dada una variedad analítica compleja X y un fibrado vectorial E dotado de una conexión integrable con polos logarítmicos a lo largo de un divisor D Ì X con cruzamientos normales, el dual de Verdier del complejo de De Rham logarítmico de E es canónicamente isomorfo al complejo de De Rham logarítmico de E^*(-D)=E^*ÄO_X(-D), donde E^* es el fibrado dual dotado de la conexión logarítmica dual.

En esta charla extenderemos el resultado anterior al caso de los divisores "Koszul libres" usando el teorema de dualidad local de la teoría de D-módulos. Para ello, basándonos en una fórmula de conmutación de productos tensoriales mixtos sobre un par de álgebras envolventes de álgebras de Lie-Rinehart, damos una expresión canónica del dual del D-módulo holónomo obtenido por extensión de escalares a partir de E. Dicha expresión es la versión intrínseca de un resultado local previamente obtenido por Castro y Ucha en el caso E=O_X (Proc. Steklov Inst. Math. 238 (2002), 88-96). Para terminar veremos la relación de lo anterior con el teorema de comparación logarítmica.

Los resultados objeto de esta charla forman parte de un proyecto en colaboración con F.J. Calderón Moreno.

Resumen: En esta charla divulgativa sobre el formalismo de las categorías derivadas evocaremos su reciente origen y desarrollo, para pasar posteriormente a mostrar cómo se construye la categoría derivada de una categoría abeliana, por medio de la localización en categorías trianguladas. En dicha construcción se advierte la dificultad (inherente a su propia naturaleza) que presenta el manejo de una categoría derivada, y se pone de manifiesto la conveniencia de disponer (cuando sea posible) de modelos concretos de objetos y morfismos de esta categoría.

Resumen: We define the notion of a minimal filtered free resolution for a filtered module over the ring D(h), a homogenization of the ring D of analytic differential operators. This provides us with analytic invariants attached to a (bi)filtered D-module. We also give an effective argument using a generalization of the division theorem due to Assi, Castro and Granger, by which we obtain an upper bound for the length of minimal filtered resolutions.

Resumen: En esta charla presentaremos algunos resultados de nuestro trabajo conjunto con Ramón Piedra, concerniente al comportamiento por explosiones del lugar equimúltiple de una superficie algebroide sumergida. Aportaremos una descripción completa (en los casos de interés para la resolución de singularidades) y algunas ideas acerca de cómo atacar casos más complejos.

17-03
Viernes, 4 de Julio de 2003, a las 10:30.
Seminario del Departamento de Álgebra (Primera planta).
Facultad de Matemáticas
 

Resumen: En esta charla repasaremos algunas aplicaciones de la teoría l-ádica de Grothendieck - Deligne, estudiando en particular acotaciones para sumas exponenciales en variedades singulares sobre cuerpos finitos, y el número de soluciones de ciertos sistemas de ecuaciones polinomiales.

16-03
Viernes, 27 de Junio de 2003, a las 9:00.
Seminario del Departamento de Álgebra (Primera planta).
Facultad de Matemáticas

Resumen: We consider the classical bivariate Horn systems from a modern point of view. We investigate questions like holonomicity, regularity and generic holonomic rank. We also provide an explicit description of a basis of the solutions space of bivariate Horn systems.

This is joint work with Alicia Dickenstein and Timour Sadykov.

15-03
Miércoles, 25 de Junio de 2003, a las 11:00.
Seminario del Departamento de Álgebra (Primera planta).
Facultad de Matemáticas

14-03
Jueves, 12 de Junio de 2003, a las 10:30.
Seminario del Departamento de Álgebra (Primera planta).
Facultad de Matemáticas

Resumen: This is joint work with S. Greco.

Let R be a two-dimensional regular local ring with maximal ideal M. It is well known that every complete (=integrally closed) M-primary ideal of R is, in a unique way, a product of simple complete M-primary ideals. In this talk we study simple complete M-primary ideals. Every such ideal à defines uniquely a quadratic sequence R=R₀ Ì¼Ì R_h, R_i being two-dimensional regular local subrings of the field of quotients of R, and therefore also a discrete valuation n_Ã, defined by the order function of R_h. We define the notion of a general element f for Ã; such an element determines also this quadratic sequence. Now R/fR is a one-dimensional CM-ring of embedding dimension 2; using results from the theory of algebroid curves we construct a generating sequence for n_Ã, i.e. a system of generators for n_Ã-ideals of R.

13-03
Jueves, 29 de Mayo de 2003, a las 10:30.
Seminario del Departamento de Álgebra (Primera planta).
Facultad de Matemáticas

Resumen: En esta charla continuaremos con la exposición iniciada en la sesión 07/03 del Seminario relativa al siguiente problema: Sea (R,m,k) un dominio noetheriano local con cuerpo de fracciones K, sea n: K^*®G una valoración de K centrada en R. En las aplicaciones de la teoría de valoraciones al álgebra conmutativa y al estudio de la resolución de singularidades, es frecuente sustituir R por su completado m-ádico [^R] y n por una adecuada extensión [^(n)] a [^T]/P, donde P es un cierto ideal primo tal que P ÇR=(0). Es bien conocido que tales extensiones existen para algunos primos minimales P de [^R]. En general, tal extensión [^(n)] no es única. El propósito de nuestro trabajo es dar, suponiendo que R es un G-anillo, una descripción sistemática de todas las extensiones [^(n)], así como identificar ciertas clases de extensiones que son de particular interés para aplicaciones. 

12-03
Jueves, 15 de Mayo de 2003, a las 10:30.
Seminario del Departamento de Álgebra (Primera planta).
Facultad de Matemáticas

Resumen: En esta charla estudiaremos un invariante esencial en la teoría del análisis algebraico: las pendientes. Este concepto proviene de la teoría clásica, concretamente, se hereda de la noción de punto singular irregular de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. Aquí trataremos los sistemas hipergeométricos o sistemas de Gelfand'-Kapranov-Zelevinski, definidos, en general, por matrices de enteros. Estudiaremos el caso de una fila, así, generalizaremos un trabajo de Castro y Takayama (en el caso de semigrupo reducido) y trataremos también, el caso general de semigrupo no reducido. 

11-03
Jueves, 24 de Abril de 2003, a las 10:00.
Seminario del Departamento de Álgebra (Primera planta).
Facultad de Matemáticas
 
 

Resumen: El desarrollo de teorías microscópicas para el estudio del núcleo atómico es extremadamente difícil debido el elevado número de grados de libertad implicados y al desconocimiento preciso de la forma de la interacción nuclear. Por ello, se suele recurrir a modelos fenomenológicos que seleccionan los grados de libertad relevantes para el estudio del problema de interés. En este sentido, el estudio de las simetrías presentes en el núcleo ayuda a la formulación de modelos apropiados.

Los métodos de simetría tienen una historia amplia y fructífera en la Física. La expresión matemática de las operaciones de simetría de un sistema lleva a la Teoría de Grupos, teoría que permite extender las ideas de índole geométrico a una conceptualización abstracta basada en la idea de invariancia. En la física clásica, estas ideas son relevantes en cuanto a su conexión con cantidades conservadas, tales como la energía, el impulso y el momento angular. Es en la Mecánica Cuántica, sin embargo, donde la Teoría de Grupos adquiere una importancia central, ya que los números cuánticos necesarios para clasificar los estados de un sistema microscópico corresponden directamente a las simetrías presentes, además de facilitar la evaluación y predicción de los observables físicos en dichos sistemas.

En el año de 1974 se propuso un nuevo modelo nuclear, conocido con el nombre de Modelo de Bosones en Interacción (IBM) , que revolucionó los métodos de descripción de los núcleos atómicos. El modelo se basa en forma preponderante en la Teoría de Grupos y propone técnicas simplificadas que explotan las simetrías presentes en dichos sistemas, dando lugar a predicciones que han sido confirmadas posteriormente. Dicho modelo unifica propiedades individuales y colectivas de la dinámica nuclear. 

9/10-03
Jueves, 10 y viernes 11 de abril de 2003 a las 10:30 horas
Seminario del Departamento de Álgebra (1ª planta)
Facultad de Matemáticas
 
 

Resumen: Gauss solía llamar a la teoría de números la ``reina de las matemáticas'': en estas dos charlas intentaremos bailar con ella. A partir del teorema de reciprocidad cuadrática y pasando por la teoría clásica de números tanto analítica (formas modulares, funciones L, multiplicación compleja) como algebraica (cuerpos locales y globales, adeles, teoría de cuerpos de clase) explicaremos la noción de forma y representación automorfa y enunciaremos las conjeturas de Langlands, uno de los pilares de la teoría de números moderna.

Resumen: La teoría de Nielsen-Thurston estudia los automorfismos de superficies, módulo isotopía. En el caso particular en que la superficie estudiada sea un disco punteado, estos automorfismos son equivalentes a trenzas de Artin, y los potentes resultados geométricos que se conocen para cualquier superficie se pueden aplicar para obtener resultados algebraicos sobre los grupos de trenzas.

En particular obtendremos una descripción algebraica del centralizador de una trenza cualquiera, obteniendo la mejor cota superior posible para el número de generadores.

También veremos que las trenzas son un ejemplo muy adecuado para comprender las nociones básicas de la teoría de Nielsen-Thurston.
 

Resumen: Sea (R,m,k) un dominio noetheriano local con cuerpo de fracciones K, sea n: K^*®G una valoración de K centrada en R. En las aplicaciones de la teoría de valoraciones al álgebra conmutativa y al estudio de la resolución de singularidades, es frecuente sustituir R por su completado m-ádico [^R] y n por una adecuada extensión [^(n)] a [^T]/P, donde P es un cierto ideal primo tal que P ÇR=(0). Es bien conocido que tales extensiones existen para algunos primos minimales P de [^R]. En general, tal extensión [^(n)] no es única. El propósito de nuestro trabajo es dar, suponiendo que R es un G-anillo, una descripción sistemática de todas las extensiones [^(n)], así como identificar ciertas clases de extensiones que son de particular interés para aplicaciones.

Resumen: El objetivo de este seminario es explicar los conceptos de G-anillo y anillo excelente (siguiendo a Matsumura "Commutative algebra", cap. 13) y pretende servir así mismo como preludio para la siguiente sesión del Seminario, que será impartida por el Prof. Spivakovsky y versará sobre la extensión de valoraciones al completado formal de un anillo.

Resumen: Los caracteres de representaciones unitarias de un grupo de Lie real semisimple G son distribuciones en G invariantes por conjugación y son autodistribuciones de los operadores diferenciales biinvariantes en G. Harish-Chandra probó además que son analíticas en un abierto denso G¢ de G, que no hay autodistribuciones invariantes soportadas en G-G¢ y que su restricción a G¢ se puede extender a una función integrable. A las autodistribuciones invariantes se les pueden asociar los módulos de Kashiwara-Hotta sobre el anillo de operadores diferenciales en g=Lie(G). A través del estudio de las b-funciones y quasi-b-funciones de estos módulos se pueden obtener como consecuencia los mismos resultados. Estas técnicas también permiten describir para qué pares simétricos las distribuciones invariantes satisfacen propiedades equivalentes.

Resumen: Más allá de los requisitos acostumbrados de los criptosistemas de clave pública en sus desarrollos teóricos, las aplicaciones reales de la criptografía actual presentan nuevas exigencias que los sistemas tradicionales (RSA, ElGamal, DSS) no cumplen. Uno de estos nuevos requisitos es la seguridad contra ataques basados en textos cifrados seleccionados ( chosen ciphertext security) que dio lugar al nacimiento del concepto de seguridad demostrable y cuya relevancia se puso de manifiesto en el (exitoso) ataque al protocolo SSL (la variante de RSA más usada en Internet) en 1998.

Resumen: La teoría de grupos es, actualmente, una de las herramientas matemáticas fundamentales en física. En este seminario se describen alguna de las aplicaciones más importantes de la teoría de grupos en la física cuántica, desde el grupo SO(3) para describir las rotaciones hasta el grupo SU(3) para introducir el modelo de quarks.

2-03
Jueves, 27 de febrero 2003 a las 16:30 horas
Seminario del Departamento de Álgebra (1ª planta)
Facultad de Matemáticas

Resumen: Dada una matriz A de orden n ³ 3, coeficientes en el anillo de polinomios D[x₁,¼,x_m], D un dominio euclídeo y determinante igual a 1, se puede factorizar en producto de matrices elementales. Haremos un repaso de un algoritmo existente y daremos una variante que puede simplificar algunos pasos. Con ella, abordamos la resolución del mismo problema cuando D es un dominio de Dedekind, y damos un procedimiento para calcular una base de un módulo proyectivo sobre D[x₁,¼,x_m], si existe.

Resumen: En esta sesión del seminario queremos continuar con la introduccióon a las valoraciones hecha en anteriores sesiones, con el título Valoraciones (1) y Valoraciones (2). El propósito es explicar el concepto de valoración compuesta, así como exponer algunas propiedades referentes al cuerpo residual, grupo de valores, rango y rango racional.

Seguiremos, como en las anteriores sesiones las notas de Michel Vaquié, que pueden encontrarse en la siguiente dirección: http://math.usask.ca/fvk/vaquie.ps.