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Resumen: La estrecha relación entre el problema de acotar ciertas sumas trigonométricas y las conjeturas de Weil para variedades sobre cuerpos finitos fue ya puesta de manifiesto hace 70 años por Hasse y Weil. Posteriormente, los resultados de Grothendieck y la demostración de Deligne de la última de las conjeturas, la hipótesis de Riemann (y especialmente su generalización, conocida como Weil II) permitieron grandes avances en el estudio de estas sumas. En esta charla daré una introducción a los métodos cohomológicos utilizados para analizar estas sumas y un resumen de los resultados más importantes que se han obtenido en los últimos años.

Resumen: On se donne une famille de polynômes f₁,...,f_p dépendant de paramètres. On montrera que l'idéal de Bernstein générique coïncide avec l'idéal de Bernstein de la fibre générique.

Resumen: The talk is an overview of the Jung-Hirzebruch resolution of surface singularities. We start with a projective surface X in P3 and a finite projection p:X® S where S is smooth. We construct a fiber product X¢® S¢ such that the discriminant locus is a normal crossing divisor. Then, the integral closure [`(X¢)] of X¢ is locally a monomial variety. We associate to it a Jung-Hirzebruch surface singularity whose resolution implies the same for X¢, so for X.

Resumen: Se trata de analizar el artículo de S. L'vovsky: "On inflection points, monomial curves, and hypersurfaces containing projective curves'' (Math. Ann. 1996).

Invitado por el grupo de investigación FQM 304 (Junta de Andalucía). Colabora: Fundación Cámara.

Resumen: Using the Computer Algebra system SINGULAR applications in and outside mathematics are explained:

• When is the Poincare-Complex exact?
• News about the Zariski-Conjecture.
• Applications in Robotics and Microelectronics.

Resumen: Tanto los Sistemas de Cómputo Algebraico (CAS) como los Sistemas de Geometría Dinámica (DGS) han alcanzado un gran nivel de desarrollo. Algunos CAS (como Maple) incluyen potentes paquetes dedicados a la Geometría Euclídea, pero ningún CAS ha incorporado ni posibilidades de dibujo con el ratón ni capacidades dinámicas. Mientras, los DGS bien conocidos no proporcionan posibilidades algebraicas. Se presentará un paquete escrito en Maple que permite dibujar una configuración geométrica con The Geometer's Sketchpad y obtener sus ecuaciones en la sintaxis de Maple. Así es posible, directamente desde "sketches", obtener fórmulas complicadas y realizar demostración y descubrimiento automático de teoremas geométricos. Además, esta estrategia es ampliable a otros CAS y DGS.

Colabora: Vicerrectorado de Relaciones Institucionales y Extensión Cultural (Ciclo de conferencias ``Geometría y Álgebra'')

Resumen: Sea R = A_n el álgebra de Weyl. Es conocido que todo módulo proyectivo finitamente generado es libre o isomorfo a un ideal a izquierda. Consideremos un R-módulo a izquierda dado como submódulo de un módulo libre. Desarrollamos un algoritmo para detectar el carácter proyectivo de M, calcular su rango y, si es mayor o igual que 2, encontrar una base.

Resumen: The talk deals with Bernstein-Sato ideals associated to a finite family of complex polynomials in many variables.

Colabora: Vicerrectorado de Relaciones Institucionales y Extensión Cultural (Ciclo de conferencias ``Geometría y Álgebra'')

Resumen: Muy recientemente han aparecido nuevos criptosistemas de clave pública, basados en la complejidad del problema de la conjugación en algunos grupos. Los grupos de trenzas de Artin son especialmente adecuados a este respecto, pues son grupos automáticos (se pueden reconocer trenzas y hacer cálculos con ellas a gran velocidad), y el problema de conjugación de trenzas es, hasta el momento, muy complicado.

En esta charla expondré un trabajo realizado con Nuno Franco, en el que presentamos el mejor algoritmo, hasta la fecha, para resolver el problema de la conjugación en los grupos de trenzas.

Resumen:En esta sesión recordaremos primeramente el concepto de derivaciones de Hasse-Schmidt como generalización del concepto de derivación al caso de característica arbitraria. En segundo lugar daremos una condición suficiente para expresar cualquier derivación de Hasse-Schmidt en función de unas fijadas y aplicaremos este resultado a la determinación de cuerpos de coeficientes.

Se trata de un trabajo en colaboración con L. Narvaéz cuya motivación se encuentra en la generalización de los resultados de "A note on the behaviour under a ground field extension of quasicoefficient fields", J. London Math.Soc.(2) 43 (1991), 12-22.

Resumen: Las curvas hiperelípticas fueron propuestas por Koblitz como base para un sistema de encriptación dada la existencia de buenos algoritmos para operar en el jacobiano y la inexistencia de un algoritmo subexponencial para la resolucion del problema del logaritmo discreto. En esta charla presentaremos algunos resultados que ilustran las peculiaridades de este tipo de curvas y que las hacen tan potencialmente útiles.

Resumen: Continuando con los objetivos propuestos durante la sesión anterior, durante esta segunda los temas a tratar serán:

• El concepto de irreducibilidad absoluta: interpretación geométrica.
• Introducción a los cuerpos de funciones.
• Órbitas en curvas abstractas.

Resumen: En esta charla y en la(s) próxima(s) trataremos de ofrecer una primera aproximación al estudio de las curvas planas sobre cuerpos arbitrarios (algebraicamente cerrados o no, de cualquier característica), prestando como es lógico especial atención a los casos no habituales:cuerpos de característica positiva y/o no algebraicamente cerrados.

Seguiremos básicamente a Lorenzini (Än invitation to Arithmetic Geometry") y, durante esta primera sesión los temas a tratar serán:

• Correspondencia entre puntos e ideales maximales.
• Acción del grupo de Galois sobre una curva. Órbitas.

Introducción a los cuerpos de funciones.

Resumen: En esta sesión del seminario presentamos la noción de d-base de Gröbner para anillos de operadores diferenciales y estudiaremos, como aplicación, el carácter plano de un D-módulo. En concreto: Si H es una sub-k-álgebra noetheriana del cuerpo de fracciones k((X)) = ((x₁,¼, x_n)), siendo además H estable bajo la acción de las derivaciones ¶₁,¼, ¶_n, consideraremos H[¶], la sub- k-álgebra de operadores diferenciales lineales generada por H y por {¶₁,¼, ¶_n}, entonces tenemos que H_p[¶]/I_p es un H_P-módulo plano para un ideal, I, de H[¶] y ciertos ideales primos, P, de H.

Resumen: El cálculo de Schubert es un área de la geometría algebraica desarrollada por H. Schubert a partir de 1874.

El objeto de este cálculo es la resolución de problemas en geometría enumerativa tales como encontrar el número de puntos, rectas, planos o n-espacios en general que satisfacen ciertas condiciones geométricas.

El fundamento de los cálculos enumerativos lineales reposa en el anillo de cohomología de la Grassmanniana. Las variedades de Schubert determinan una base aditiva (ciclos de Schubert) de dicho anillo. En general, los cálculos enumerativos vienen dados por la estructura multiplicativa, donde el producto de ciclos se obtiene mediante fórmulas (Pieri, Giambelli).

Resumen: En noviembre de 1994, L. Adleman resolvió una instancia concreta de un problema NP-completo (el problema del circuito hamiltoniano, en su versión dirigida y con un par de nodos distinguidos) a través de la manipulación de moléculas de ADN usando técnicas de biología molecular. Este experimento:

• Proporciona un primer ejemplo de computación a nivel molecular.
• Muestra nuevas perspectivas de las cadenas de ADN como estructura de datos peculiares.
• Ilustra la posibilidad de usar moléculas de ADN para resolver instancias de problemas de tipo combinatorio computacionalmente intratables.
• Manifiesta la capacidad del ADN para simular computaciones de forma masivamente paralela.

En esta sesión se presentan algunos modelos de computación molecular basados en ADN, se realiza una propuesta para describir los programas moleculares como sistemas formales, y se estudia la verficación formal de programas a través de un procedimiento de etiquetado usando técnicas inductivas.

Resumen: We briefly comment about the following issues:

• A(¥)-algebra structure as a measure of nonassociativity of DG-algebras;
• A(¥)-algebra structure in cohomology of a topological space;
• connection with Massey product and Hochschild and Harrision cohomology of algebras;
• aplication in rational homotopy theory.

Resumen: Si k es un cuerpo y K es un cuerpo intermedio entre k y k(X₁ , ... , X_n), el problema XIV de Hilbert pregunta si la k-álgebra K intersección con k[X₁ , ... , X_n ] es finitogenerada. Se examinará su origen en la teoría de invariantes y los resultados, positivos y negativos, que desde los trabajos fundamentales de Zariski y Nagata llegan hasta la actualidad, en que el problema se centra en el caso de acciones del grupo aditivo de k (ó equivalentemente, de núcleos de derivaciones localmente nilpotentes), para las que el problema está abierto sólo si n = 4. También se tratarán algunas generalizaciones y problemas conexos relativos a álgebras de Rees simbólicas, etc..

Resumen: Sea v una valoración centrada en un dominio local R. Se estudiará la cuestión de extension de v al completado formal de R. Se definirán los ideales implícitos que miden la no-unicidad de tal extensión. Al final hablaré de la motivación principal de este trabajo para mí - uniformización local - y del papel que juegan los ideales implícitos en la teoría de desingularizacion.

Resumen: Se trata de una presentación de la Geometría Algebraica, hecha para las "Jornadas Matemáticas 2001: las Geometrías". Se hace una introducción al tema a partir de dos problemas: La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer y la conjetura de Shimura-Taniyama-Weil. Se da una ligera idea de la demostración de Wiles al Último Teorema de Fermat.

Resumen: Presentaremos el algoritmo de R. Bahloul para calcular algunos ideales de Bernstein asociados a una aplicación polinomial (f₁, ... ,f_p): Cⁿ®C^p en n-variables.

Resumen: Se demuestra un teorema de dualidad entre dos D-módulos asociados a un cierto tipo de divisores libres en Cⁿ. Se darán algunas aplicaciones y se presentarán ejemplos construidos con cálculos explícitos de bases de Gröbner en D-módulos.

11/01
Lunes, 2 de Abril, a las 16 horas
Aula 2.5 (Facultad de Matemáticas)
 
 

Resumen: Trabajo en colaboración con N. Takayama. Se trata de la continuación de las tres conferencias anteriores y muy en particular de las de los días 15 de Enero y 26 de Febrero. Se tratará el caso de la dimensión 3.

Resumen: En la resolución de singularidades de Hironaka (64), se plantean diversas técnicas necesarias para el proceso: centros permitidos, estratos de Hilbert, semicontinuidad superior de la función de Hilbert, etc. Estas técnicas fueron desarrolladas para el caso algebraico por B.M. Bennet (70), B.Teissier (71, en Quelques calules utiles pour la rèsolution de singularités ), y Aroca-Hironaka-Vicente (75-76). En este último trabajo se esbozan métodos combinatorios.

En esta sesión del seminario, presentamos un desarrollo combinatorio completo de las técnicas en el caso analítico, sin recurrir al álgebra conmutativa, completándose resultados de A-H-V.

Resumen:El objetivo del trabajo es dar una lista explícita y exhaustiva de todas las valoraciones de C((X₁, ..., X_n)) discretas de rango 1, finitas sobre C[[X₁, ..., X_n]]. Se expondrán los logros en esta dirección y los problemas abiertos.

Resumen:Tenemos un resultado bien conocido sobre la irregularidad de un sistema asociado a una matriz A Î M (d ×n, Z) de rango d. Por otra parte, conocido el invariante "pendiente" en teoría de D-módulos y combinándolo con el resultado anterior, calcularemos explícitamente las pendientes asociadas a ciertos sistemas hipergeométricos.

Resumen: Se trata de la continuación de la conferencia del día 15-Enero-2001 y de un trabajo en colaboración con N. Takayama. Se tratarán algunos ejemplos básicos de cálculo de pendientes para D-módulos hipergeométricos asociados a matrices fila y de la reducción del caso general a un caso particular.

Las sesiones 05/01 y 06/01 corresponden al curso "Representaciones de grupos de Lie semisimples" impartido por la profesora  Esther Galina (Universidad Nacional de Córdoba, Argentina) .

Jueves, 8 de febrero, a las 17:30 horas
Aula 2.5 (Facultad de Matemáticas)
 

Resumen: Se presenta el trabajo reciente en colaboracion con Felix Delgado y Sabir Gussein-Zade. Asociados a una singularidad de curva plana se tienen tres polinomios (cuyas variables se corresponden con las ramas): el polinomio de Alexander del entrelazamiento de nudos obtenido al intersecar la singularidad con una esfera 3-dimensional de radio pequeño, el numerador de la serie de Poincare del semigrupo de valores, y el polinomio característica (de Euler) de la proyectivización del semingrupo extendido de la singularidad. El principal resultado muestra que los tres polinomios coinciden. Como consecuencia, es posible determinar explícitamente las potencias que aparecen como soporte del polinomio de Alexander y para cada una de ellas su coeficiente sin necesidad de tener en cuenta los coeficientes de los otros términos.

Resumen: Hay dos ejemplos fundamentales esencialmente diferentes de categorías triangulares. Uno de ellos es la categoría derivada de haces sobre un espacio anillado, estudiada intensivamente en el contexto de la geometría algebraica y la geometría analítica. Las técnicas básicas aquí son lo funtores derivados y las resoluciones. El otro ejemplo es la categoría de homotopía estable formado por espectros topológicos salvo equivalencias débiles de homotopía. En este contexto se han desarrollado el teorema de representabilidad de Brown y el teorema de locaclización de Bousfield. Veremos que ambos teoremas se trasladan al contexto de haces y resultan aplicables a los problemas naturales del marco de las ßeis operaciones" de Grothendieck.

Viernes 26 de Enero de 2001
Hora: 12 h
Lugar: Salón de actos de la Facultad de Matemáticas
 

Resumen: Boolean algebra appeared as an algebraic tool used in logic, it also describes behavior of sets under ordinary set-theoretical operations (union, intersection and complementation applied to subsets of a set). Also, Boolean algebra is important in the initial steps of computer science (logic of relay schemes).

Suppose that our "channels of communication" have limited capacity. For example, you want to compute the value of a Boolean function of a set or sets. Say, you have two subsets, A and B, and you want to figure out what their union A ÈB is. However, because of your limitations, you are unable to ßee" your sets in their entirety, they may have ïnvisible regions." Let C be a fixed set, and suppose that you are able to see only the A ÇC part of A, while the remaining part A \C remains invisible. So, instead of A ÈB you will obtain a very different set. For you, this set will be the ünion" of A and B, but it may be very different from the true union of these two sets. You may be well aware that the sets with which you operate are only parts of the "real" sets, but there is no way for you to ascertain whether a set (say, X) you have is the entire set or only a visible part of it, while, in reality, X may be much bigger because of its ïnvisible part."

An analogous situation appears in computing devices whose channels of communication have limited capacity. In the ideal case rules of Boolean algebra explain how they deal with logical operations. In real life these devices would follow rules of a strangely twisted Boolean algebra, which need not be a Boolean algebra at all.

In such a situation, if you want to construct an algebraic theory of elementary set-theoretical operations, you obtain a distorted version of ordinary Boolean algebra.

We consider some examples of this situation, algebraic properties of the resulting set-theoretical operations, and the structure of algebraic systems so obtained. Algebraically, the problems and results belong to semigroup theory. However, very little knowledge of semigroup theory is assumed, the speaker will explain all facts and definitions needed.

Financiación: Fundación Cámara
Invitación: Proyecto de investigación BFM2000-1523

Fecha: Jueves, 25 de Enero de 2001
Lugar: Aula 2.5. Facultad de Matemáticas
Hora: 16:00

Resumen: Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto, y C*(X) el anillo de las funciones continuas y acotadas de X en la
recta real R. Sea aX una compactificación de X, es decir, un espacio compacto y de Hausdorff que contiene a X como subespacio
denso. Denotaremos por Ca(X) el subanillo de C*(X) formado por las funciones que admiten una prolongación continua a aX.
Consideremos ahora una segunda compactificación gX de X, y supongamos que gX ³ aX, lo cual significa que existe una aplicación
continua de gX en aX que induce la identidad en X. Así pues, Ca(X) Í Cg(X). ?`Cuándo es simple la extensión anterior, es decir,
cuándo existe f Î Cg(X) tal que Cg(X) = Ca(X)[f]?

Trataremos de dar respuesta a la pregunta anterior, así como a otras relacionadas con ella, enfocando el problema en términos de
extensiones enteras y utilizando técnicas de M.A. Mulero. Los ejemplos más significativos estarán asociados a revestimientos
finitos entre espacios compactos.

Colabora: Vicerrectorado de Relaciones Institucionales y Extensión Cultural
 

02/01
Lunes, 22 de enero, a las 16 horas
Aula 2.5 (Facultad de Matemáticas)

Resumen: Un grupo se dice ordenable a derecha (a izqda.) si existe un orden total de sus elementos que sea invariante por multiplicación a derecha (a izqda.). Un grupo es bi-ordenable si admite un orden invariante a izquierda y a derecha. En esta charla estudiaremos estas propiedades en algunos grupos sencillos, veremos algunas consecuencias, y finalmente probaremos, como ejemplo reciente, el siguiente resultado:

Teorema: El grupo de trenzas puro de una superficie cerrada es ordenable si y sólo si la superficie es orientable